Exercices types - Exercice 3

$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur de $$f$$.
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur $$x-2$$.
Ainsi : $$x-2=0\Leftrightarrow x=2$$ Il en résulte donc que $$x=2$$ est la valeur interdite.
Le domaine de définition est : .

$$f\left(x\right)=2+\frac{1}{x-2}$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$f\left(x\right)=\frac{2\left(x-2\right)}{x-2} +\frac{1}{x-2}$$
$$f\left(x\right)=\frac{2x-4}{x-2} +\frac{1}{x-2}$$
$$f\left(x\right)=\frac{2x-4+1}{x-2}$$

Nous allons travailler avec la forme $$f\left(x\right)=2+\frac{1}{x-2}$$.
On décompose la fonction $$f$$ en $$m+\frac{1}{u\left(x\right)}$$ avec $$u\left(x\right)=x-2$$ et $$m=2$$.
Pour tout $$x\in \left]-\infty ;2\right[$$, la fonction $$u$$ est croissante car il s'agit d'une fonction affine dont le coefficient directeur est positif.
La fonction $$\frac{1}{u}$$ est définie lorsque $$u\ne 0$$, ce qui est vrai sur l'intervalle $$I_{1} =\left]-\infty ;2 \right[$$.
Ainsi, pour tout $$x\in \left]-\infty ;2 \right[$$, la fonction $$\frac{1}{u}$$ a un sens de variation contraire à celui de la fonction $$u$$.
Donc la fonction $$\frac{1}{x-2}$$ est décroissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;2 \right[$$.
De plus, la fonction $$\frac{1}{u}$$ et $$\frac{1}{u} +m$$ ont des sens de variations identiques.
Donc la fonction $$\frac{1}{u} +m$$ est décroissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;2 \right[$$.
Finalement, la fonction $$f\left(x\right)=2+\frac{1}{x-2}$$ est décroissante sur $$I_{1} =\left]-\infty ;2 \right[$$.

Pour étudier le signe de $$f$$, nous allons travailler avec la forme $$f\left(x\right)=\frac{2x-3}{x-2}$$

D'une part :

$$2x-3=0\Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$$
Soit $$x\mapsto 2x-3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\frac{3}{2}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$x-2=0\Leftrightarrow x=2$$ . Attention, ici $$x=2$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x-2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=2$$ est une valeur interdite)

Pour étudier le signe de $$f$$, nous allons travailler avec la forme $$f\left(x\right)=2+\frac{1}{x-2}$$
$$f\left(x\right)\ge2$$ équivaut successivement à :
$$2+\frac{1}{x-2}\ge2$$
$$2+\frac{1}{x-2}-2\ge0$$
$$\frac{1}{x-2}\ge0$$
Nous allons dresser le tableau de signe de la fonction $$x\mapsto \frac{1}{x-2}$$. Il vient alors que :
Il en résulte que : $$f\left(x\right)\ge2 \Leftrightarrow \frac{1}{x-2}\ge0$$
Ainsi :