Exercices types - Exercice 2

La fonction $$f$$ est une fonction homographique.

$$f$$ est définie pour toutes les valeurs réelles sauf celles qui annulent le dénominateur de $$f$$.
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur $$-2x-8$$.
Ainsi : $$-2x-8=0\Leftrightarrow -2x=8\Leftrightarrow x=\frac{8}{-2}$$ d'où $$x=-4$$. Il en résulte donc que $$x=-4$$ est la valeur interdite.
Le domaine de définition est : .

Dans un premier temps, nous allons étudier les variations sur l'intervalle $$\left]-\infty ;4 \right[$$ puis dans un second temps sur l'intervalle $$\left]4;+\infty \right[$$.
$$1$$^ercas : L'étude sur $$\left]-\infty ;-4 \right[$$
On décompose la fonction $$f$$ en $$\frac{1}{u}$$ avec $$u\left(x\right)=-2x-8$$.
$$u$$ est une fonction affine décroissante car le coefficient directeur $$a=-2<0$$.
De plus, la fonction $$u$$ est de signe constant sur l'intervalle $$\left]-\infty ;-4 \right[$$ comme le montre le tableau de signe ci-dessous :
Comme les fonctions $$u$$ et $$\frac{1}{u}$$ ont des sens de variations contraires, alors la fonction $$\frac{1}{u}$$ c'est à dire $$\frac{1}{-2x-8}$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left]-\infty ;-4 \right[$$.
$$2$$^èmecas : L'étude sur $$\left]4;+\infty \right[$$
On décompose la fonction $$f$$ en $$\frac{1}{u}$$ avec $$u\left(x\right)=-2x-8$$.
$$u$$ est une fonction affine décroissante car le coefficient directeur $$a=-2<0$$.
De plus, la fonction $$u$$ est de signe constant sur l'intervalle $$\left]4;+\infty \right[$$ comme le montre le tableau de signe ci-dessous :
Comme les fonctions $$u$$ et $$\frac{1}{u}$$ ont des sens de variations contraires, alors la fonction $$\frac{1}{u}$$ c'est à dire $$\frac{1}{-2x-8}$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left]4;+\infty \right[$$.
On résume cela dans le tableau de variation ci-dessous :

La fonction $$g$$ est une fonction racine carrée.

La fonction $$g$$ est définie pour toutes les valeurs réelles qui rendent le radical positif ou nul.
Le radical correspond à l'expression qui est sous la racine carrée.
$$g$$ est définie si , et seulement si : $$-3x-9\ge0$$.
Ainsi :
$$-3x-9\ge0\Leftrightarrow-3x\ge9\Leftrightarrow x\le\frac{9}{-3}\Leftrightarrow x\le-3$$
L'ensemble de définition de la fonction $$g$$ est : .

Pour les variations, on décompose la fonction $$g$$ en $$\sqrt{u}$$ avec $$u\left(x\right)=-3x-9$$.
La fonction $$u$$ est une fonction affine de coefficient directeur $$a=-3<0$$. La fonction $$u$$ est donc décroissante sur $$\left]-\infty;-3\right]$$.
Comme les fonctions $$u$$ et $$\sqrt{u}$$ ont les mêmes variations, la fonction $$g$$ est décroissante sur $$\left]-\infty;-3\right]$$.