Trois questions issues des sujets de Métropole (12 juin et 11 septembre 2026) et d'Antilles-Guyane (11 septembre 2026) - Exercice 1

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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Question 1
Métropole, 12 juin 2026 – exercice 2, question 2
On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=2−nu_n=2^{-n}.

Affirmation : la suite (un)(u_n) est une suite géométrique de raison 12\dfrac{1}{2}.

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
Les termes de la suite sont strictement positifs car un=2−n=12n>0u_{n}=2^{-n}=\dfrac{1}{2^{n}}\gt 0.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2−nu_{n}=2^{-n} alors :
un+1=2−(n+1)u_{n+1}=2^{-\left(n+1\right)}
2ème étape : Calcul de un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} .
un+1un=2−(n+1)2−n\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{2^{-\left(n+1\right)}}{2^{-n}} équivaut successivement à :
un+1un=2−(n+1)−(−n)\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=2^{-\left(n+1\right)-\left(-n\right)}
un+1un=2−n−1+n\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=2^{-n-1+n}
un+1un=2−1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=2^{-1}
un+1un=12\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1}{2}
Il en résulte que la suite un=2−nu_{n}=2^{-n} est une suite géométrique de raison 12\dfrac{1}{2} (et de premier terme u0=20=1u_{0}=2^{0}=1).
Ainsi :
L'affirmation est vraie.
Question 2
Métropole, 11 septembre 2026 – exercice 2, question 1
On considère la suite (vn)(v_n) définie pour tout entier naturel nn par vn=3×(14)nv_n=3\times\left(\dfrac{1}{4}\right)^n.

Affirmation : la suite (vn)(v_n) est croissante.

Correction
Il s'agit ici de la forme explicite d'une suite géométrique : vn=v0×qnv_{n}=v_{0}\times q^{n} avec v0=3v_{0}=3 et q=14q=\dfrac{1}{4}.
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
  • Si 0<q<10\lt q\lt 1 et u0<0u_{0}\lt 0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si 0<q<10\lt q\lt 1 et u0>0u_{0}\gt 0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q\gt 1 et u0>0u_{0}\gt 0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q>1q\gt 1 et u0<0u_{0}\lt 0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
  • Si q<0q\lt 0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas monotone.
Or : q=14q=\dfrac{1}{4} ainsi 0<q<10\lt q\lt 1 et v0=3>0v_{0}=3\gt 0 donc la suite (vn)\left(v_{n}\right) est décroissante.
On le vérifie sur les premiers termes : v0=3v_{0}=3, v1=34v_{1}=\dfrac{3}{4} et v2=316v_{2}=\dfrac{3}{16} : les termes diminuent.
Ainsi :
L'affirmation est fausse.
Question 3
Antilles-Guyane, 11 septembre 2026 – exercice 3, question 2
On considère la suite arithmétique (un)(u_n) telle que u2=50u_2=50 et u6=51u_6=51.

Affirmation : on a u26=56u_{26}=56.

Correction
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
On peut écrire, dans notre cas, que :
u6=u2+(6−2)×ru_{6}=u_{2}+\left(6-2\right)\times r équivaut successivement à :
51=50+4r51=50+4r
51−50=4r51-50=4r
1=4r1=4r
r=14r=\dfrac{1}{4}
Maintenant, calculons u26u_{26} :
u26=u2+(26−2)×ru_{26}=u_{2}+\left(26-2\right)\times r
u26=50+24×14u_{26}=50+24\times\dfrac{1}{4}
u26=50+6u_{26}=50+6
u26=56u_{26}=56

Ainsi :
L'affirmation est vraie.

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