Suites arithmétiques et géométriques

SUJETS DES ÉPREUVES DE SPÉCIALITÉ : EPREUVE COMMUNE DE CONTROLE CONTINU - Exercice 1

20 min
40
Question 1
En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20%20\% de son intensité lumineuse. L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd).
On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à 400400 cd.
On superpose nn plaques de verres identiques (nn étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse 𝐼𝑛 du rayon à la sortie de la nn-ième plaque. On note I0=400I_0=400 l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite (In)\left(I_{n} \right) .

Montrer par un calcul que I1=320I_1=320 .

Correction
En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20%20\% de son intensité lumineuse. C'est à dire une diminution de 20%20\% . On multiplie donc par le coefficient multiplicateur q=1−20100=0,8q=1-\frac{20}{100}=0,8 .
Il en résulte donc que : I1=I0×0,8=400×0,8I_{1}=I_{0}\times0,8=400\times0,8
D'où :
I1=320I_{1}=320

Question 2

Pour tout entier naturel nn, exprimer In+1I_{n+1} en fonction de InI_{n} .

Correction
En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20%20\% de son intensité lumineuse. C'est à dire une diminution de 20%20\% . On multiplie donc par le coefficient multiplicateur q=1−20100=0,8q=1-\frac{20}{100}=0,8 .
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0,80,8. Ainsi :
In+1=0,8×InI_{n+1}=0,8\times I_{n}
Question 3

En déduire la nature de la suite (In)\left(I_{n} \right) . Préciser sa raison et son premier terme .

Correction
Comme
In+1=0,8×InI_{n+1}=0,8\times I_{n}

Il en résulte donc que la suite (In)\left(I_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=0,8q=0,8 et de premier terme I0=400I_0=400.
Question 4

Pour tout entier naturel nn, exprimer InI_{n} en fonction de nn .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut I0=400I_{0} =400.
    Il en résulte donc que :
    In=400×0,8nI_{n} =400\times 0,8^{n}
    Question 5
    On souhaite déterminer le nombre minimal nn de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70%70\% de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.
    Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante :

    Préciser, en justifiant, le nombre JJ de sorte que l’appel nombrePlaques(JJ) renvoie le nombre de plaques à superposer.

    Correction
    On souhaite déterminer le nombre minimal nn de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70%70\% de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques. C'est à dire une diminution de 70%70\% . On multiplie donc par le coefficient multiplicateur 1−70100=0,31-\frac{70}{100}=0,3 .
    Pour obtenir la valeur recherchée il nous faut donc faire le calcul I0×0,3=400×0,3=120I_0 \times 0,3=400 \times 0,3=120
    Dans l'algorithme remplacer alors le nombre JJ par 120120 .
    Question 6

    Le tableau ci-dessus donne des valeurs de InI_{n}. Combien de plaques doit-on superposer ?

    Correction
    D'après le tableau donné ci-dessous, nous voyons que :
    I5=131,07>120I_5=131,07>120 et I6=104,85<120I_6=104,85<120 .
    Il faut donc superposer 66 plaques.