Sujet Polynésie – 4 septembre 2026 - Exercice 1

$$80\%$$ des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don : on multiplie donc par le coefficient multiplicateur $$\dfrac{80}{100}=0{,}8$$, puis on ajoute les $$300$$ nouveaux donateurs.
Il en résulte donc que : $$u_{1}=0{,}8\times u_{0}+300=0{,}8\times 1\,000+300=800+300$$
D'où :
En $$2026$$, l'association devrait compter $$1\,100$$ donateurs.

Soit $$n$$ un entier naturel. L'année $$2025+n+1$$, les donateurs sont :

• les donateurs de l'année $$2025+n$$ qui renouvellent leur don : il y en a $$80\%$$ de $$u_{n}$$, soit $$0{,}8u_{n}$$ ;
• les $$300$$ nouveaux donateurs.

Ainsi :

$$u_{5}$$ est le nombre de donateurs de l'année $$2025+5=2030$$.
Ainsi :

La variable u contient le nombre de donateurs et la variable i le rang de l'année : à chaque passage dans la boucle, on calcule le nombre de donateurs de l'année suivante ($$u_{i+1}=0{,}8u_{i}+300$$) et on augmente i de $$1$$.
La boucle continue tant que $$u\leqslant 1\,400$$ ; elle s'arrête dès que le nombre de donateurs dépasse strictement $$1\,400$$. Le tableau ci-dessous détaille toutes les étapes :La boucle s'arrête pour $$i=8$$ : $$u_{7}\leqslant 1\,400$$ et $$u_{8}\gt 1\,400$$. Or $$2025+8=2033$$.
Ainsi :

Soit $$n$$ un entier naturel. Exprimons $$v_{n+1}$$ en fonction de $$v_{n}$$.
$$v_{n+1}=u_{n+1}-1\,500$$ équivaut successivement à :
$$v_{n+1}=0{,}8u_{n}+300-1\,500$$
$$v_{n+1}=0{,}8u_{n}-1\,200$$
$$v_{n+1}=0{,}8u_{n}-0{,}8\times 1\,500$$ (car $$0{,}8\times 1\,500=1\,200$$)
$$v_{n+1}=0{,}8\left(u_{n}-1\,500\right)$$
D'où :
De plus : $$v_{0}=u_{0}-1\,500=1\,000-1\,500=-500$$.
Il en résulte donc que la suite $$\left(v_{n}\right)$$ est $${\color{blue}\text{géométrique}}$$ de raison $$q=0{,}8$$ et de premier terme $$v_{0}=-500$$.

Dans notre cas, le premier terme ici vaut $$v_{0}=-500$$ et la raison vaut $$q=0{,}8$$.
Il en résulte donc que :

Pour tout entier naturel $$n$$, $$v_{n}=u_{n}-1\,500$$, donc $$u_{n}=v_{n}+1\,500$$.
Il en résulte donc que :
$$u_{n}=-500\times 0{,}8^{n}+1\,500$$
D'où : Remarque : comme $$500\times 0{,}8^{n}\gt 0$$, on a toujours $$u_{n}\lt 1\,500$$ ; et comme $$0{,}8^{n}$$ devient de plus en plus petit, le nombre de donateurs se rapproche de $$1\,500$$ sans jamais l'atteindre.