Sujet Polynésie – 12 juin 2026 (exercice 1, partie B) - Exercice 1

Comme
Il en résulte donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est $${\color{blue}\text{géométrique}}$$ de raison $$q=1{,}025$$ et de premier terme $$u_{0}=400$$.

Chaque année, le nombre de clients est multiplié par le coefficient multiplicateur $$1{,}025$$.
Or $$1{,}025=1+0{,}025=1+\dfrac{2{,}5}{100}$$ : multiplier par $$1{,}025$$ revient à augmenter de $$2{,}5\%$$.
Ainsi :

On veut le premier rang $$n$$ pour lequel $$u_{n}\geqslant k$$ : il faut donc continuer tant que $$u\lt k$$.
Dans la boucle, on augmente le rang de $$1$$ et on calcule le terme suivant en multipliant par $$1{,}025$$. À la fin, on renvoie le rang $$n$$.
Ainsi, la fonction complétée est :

Dans notre cas, le premier terme ici vaut $$u_{0}=400$$ et la raison vaut $$q=1{,}025$$. Il en résulte donc que : $$u_{n}=400\times 1{,}025^{n}$$.
L'appel seuil(600) renvoie la plus petite valeur de $$n$$ telle que $$u_{n}\geqslant 600$$. L'inéquation s'écrit également : $$400\times 1{,}025^{n}\geqslant 600$$.
$$400\times 1{,}025^{n}\geqslant 600$$ équivaut successivement à :
$$1{,}025^{n}\geqslant\dfrac{600}{400}$$
$$1{,}025^{n}\geqslant 1{,}5$$ (d'après l'aide aux calculs, $$400\times 1{,}5=600$$)
D'après la feuille de calcul :

• lorsque $$n=16$$ : $$1{,}025^{16}\approx 1{,}48$$ et $$1{,}48\lt 1{,}5$$ ;
• lorsque $$n=17$$ : $$1{,}025^{17}\approx 1{,}52$$ et $$1{,}52\geqslant 1{,}5$$.

De plus, $$q=1{,}025\gt 1$$ et $$u_{0}=400\gt 0$$ : la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est croissante. Une fois $$600$$ clients atteints, on reste au-dessus.
Ainsi seuil(600) renvoie $$17$$. Or $$2025+17=2042$$.
Ainsi :