Sujet Métropole (secours) – 12 juin 2026 - Exercice 1

Sur la figure ($$N=3$$), on compte $$3$$ triangles « pointe en haut » à l'étage $$1$$, $$2$$ à l'étage $$2$$ et $$1$$ à l'étage $$3$$ : chaque étage compte un triangle de moins que l'étage du dessous, et l'étage du haut n'en compte qu'un.
En partant du haut : l'étage $$N$$ compte $$1$$ triangle, l'étage $$N-1$$ en compte $$2$$, …, et l'étage $$1$$ en compte $$N$$.
Ainsi :

D'après la question précédente, le château compte $$N$$ triangles à l'étage $$1$$, $$N-1$$ à l'étage $$2$$, …, et $$1$$ à l'étage $$N$$. Le nombre total de triangles est donc :
$$1+2+\ldots+N$$
Il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $$1$$ : elle comporte $$N$$ termes, le premier vaut $$1$$ et le dernier vaut $$N$$. Ainsi :
$$1+2+\ldots+N=N\times\left(\dfrac{1+N}{2}\right)$$
D'où :
Pour $$N=3$$ : $$\dfrac{3\times 4}{2}=6$$ triangles, ce que l'on retrouve sur la figure.

On distingue deux sortes de cartes :

• les cartes inclinées : chaque triangle « pointe en haut » est formé de $$2$$ cartes inclinées. D'après la question 2, cela fait $$2\times\dfrac{N\left(N+1\right)}{2}=N\left(N+1\right)$$ cartes ;
• les cartes horizontales : elles servent de plancher entre deux étages. Au-dessus d'un étage, il y a une carte horizontale de moins que de triangles à cet étage : $$N-1$$ cartes au-dessus de l'étage $$1$$, $$N-2$$ au-dessus de l'étage $$2$$, …, $$1$$ au-dessus de l'étage $$N-1$$, et aucune au-dessus de l'étage $$N$$. Cela fait $$1+2+\ldots+\left(N-1\right)=\left(N-1\right)\times\dfrac{1+\left(N-1\right)}{2}=\dfrac{N\left(N-1\right)}{2}$$ cartes.

Le nombre total de cartes est donc $$N\left(N+1\right)+\dfrac{N\left(N-1\right)}{2}$$, ce qui équivaut successivement à :
$$\dfrac{2N\left(N+1\right)}{2}+\dfrac{N\left(N-1\right)}{2}$$
$$\dfrac{2N^{2}+2N+N^{2}-N}{2}$$
D'où :
Pour $$N=3$$ : $$\dfrac{3\times 9+3}{2}=15$$ cartes, soit $$12$$ cartes inclinées et $$3$$ cartes horizontales, comme sur la figure.

On cherche le plus grand entier $$N$$ tel que $$\dfrac{3N^{2}+N}{2}\leqslant 54$$.
Plus le château a d'étages, plus il faut de cartes : quand on ajoute un étage, on ajoute des cartes. Calculons donc le nombre de cartes nécessaires pour les premières valeurs de $$N$$ :

• pour $$N=5$$ : $$\dfrac{3\times 25+5}{2}=\dfrac{80}{2}=40$$ cartes, et $$40\leqslant 54$$ ;
• pour $$N=6$$ : $$\dfrac{3\times 36+6}{2}=\dfrac{114}{2}=57$$ cartes, et $$57\gt 54$$.

Ainsi :