Sujet Centres étrangers – 8 juin 2026 - Exercice 1

Chaque année, la hauteur de l'arbre augmente de $$40$$ cm, c'est-à-dire de $$0{,}4$$ m : on ajoute donc $$0{,}4$$ à la hauteur de l'année précédente.
Nous savons que $$u_{n+1}=u_{n}+0{,}4$$ et que $$u_{0}=1$$ .

Calcul de $$u_{1}$$ .

$$u_{0+1}=u_{0}+0{,}4$$
$$u_{1}=u_{0}+0{,}4$$
$$u_{1}=1+0{,}4$$ d'où :

Deux années après sa plantation, la hauteur de l'arbre est $$u_{2}$$.

Calcul de $$u_{2}$$ .

$$u_{1+1}=u_{1}+0{,}4$$
$$u_{2}=u_{1}+0{,}4$$
$$u_{2}=1{,}4+0{,}4$$ d'où :
Deux années après sa plantation, l'arbre mesurera $$1{,}8$$ mètre.

Chaque année, on ajoute $$0{,}4$$ m à la hauteur de l'arbre. Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$, on a :

La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est alors une suite arithmétique de raison $$r=0{,}4$$ et de premier terme $$u_{0}=1$$.

D'après le cours, on sait que : $$u_{n}=u_{0}+n\times r$$ ce qui nous donne donc :

Nous voulons savoir quand $$u_{n}=9$$. L'équation s'écrit également : $$1+0{,}4n=9$$.
$$1+0{,}4n=9$$ équivaut successivement à :
$$0{,}4n=9-1$$
$$0{,}4n=8$$
$$n=\dfrac{8}{0{,}4}$$
$$n=20$$
Ainsi :
La suite est arithmétique : les points $$\left(n;u_{n}\right)$$ sont alignés.

Chaque année, le nombre de nouvelles branches double : il nous faut donc multiplier par $$2$$ le nombre de nouvelles branches de l'année précédente (au bout de chaque nouvelle branche poussent deux nouvelles branches l'année suivante).
Ainsi, pour tout entier naturel $$n$$, on a :

La suite $$\left(v_{n}\right)$$ est alors une suite géométrique de raison $$q=2$$ et de premier terme $$v_{0}=2$$.
On vérifie avec l'énoncé : $$v_{1}=2\times 2=4$$ et $$v_{2}=4\times 2=8$$.

Le nombre total de branches trois ans après la plantation est la somme des nouvelles branches apparues de l'année $$0$$ à l'année $$3$$ : $$v_{0}+v_{1}+v_{2}+v_{3}$$.

Calcul de $$v_{3}$$ .

$$v_{2+1}=v_{2}\times 2$$
$$v_{3}=v_{2}\times 2$$
$$v_{3}=8\times 2$$ d'où :
Il en résulte donc que :
$$v_{0}+v_{1}+v_{2}+v_{3}=2+4+8+16$$
D'où :
Trois ans après sa plantation, l'arbre possède bien $$30$$ branches au total :

Au départ, v = 2 et total = 2 : ce sont le nombre $$v_{0}$$ de branches à la plantation et le nombre total de branches à la plantation.
À chaque passage dans la boucle, l'instruction v = 2 * v calcule le nombre de nouvelles branches de l'année suivante, puis total = total + v les ajoute au nombre total de branches.
La boucle est répétée $$10$$ fois : après le $$k$$-ième passage, v $$=v_{k}$$ et total $$=v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{k}$$.À la fin, total $$=v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{10}$$. On peut retrouver ce résultat avec la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
Ici, le premier terme vaut $$v_{0}=2$$, la raison vaut $$q=2$$ et la somme $$v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{10}$$ comporte $$10-0+1=11$$ termes. Ainsi :
$$v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{10}=2\times\left(\dfrac{1-2^{11}}{1-2}\right)=2\times\dfrac{1-2\,048}{-1}=2\times 2\,047=4\,094$$
Ainsi :