Sujet Asie – 15 juin 2026 (exercice 1, partie A) - Exercice 1

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Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 20002000.
En 20202020, le niveau du lac était d'environ 1 1001\,100 mètres au-dessus du niveau de la mer.
En dessous de 1 0201\,020 mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.
Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de 1%1\% tous les ans.
On définit la suite (un)(u_n) telle que unu_n représente le niveau du lac en mètres nn années après 20202020, c'est-à-dire en 2020+n2020+n.
On a alors u0=1 100u_0=1\,100.
Aide aux calculs : 1 100×0,99=1 0891\,100\times 0{,}99=1\,089 ; 1 100×0,01=111\,100\times 0{,}01=11 ; 1 100×0,9=9901\,100\times 0{,}9=990
Question 1

Calculer u1u_1 et interpréter ce résultat.

Correction
Le niveau du lac baisse de 1%1\% tous les ans. C'est-à-dire une diminution de 1%1\%. On multiplie donc par le coefficient multiplicateur 1−1100=0,991-\dfrac{1}{100}=0{,}99.
Il en résulte donc que : u1=u0×0,99=1 100×0,99u_{1}=u_{0}\times 0{,}99=1\,100\times 0{,}99
D'où :
u1=1 089u_{1}=1\,089

En 20212021 (2020+12020+1), le niveau du lac est estimé à 1 0891\,089 mètres au-dessus du niveau de la mer.
Question 2

Pour tout entier naturel nn, exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n.

Correction
Chaque année, le niveau baisse de 1%1\% : on multiplie donc par le coefficient multiplicateur q=1−1100=0,99q=1-\dfrac{1}{100}=0{,}99.
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0,990{,}99. Ainsi :
un+1=0,99×unu_{n+1}=0{,}99\times u_{n}
Question 3

En déduire la nature de la suite (un)(u_n). On précisera sa raison.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Comme
    un+1=0,99×unu_{n+1}=0{,}99\times u_{n}

    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=0,99q=0{,}99 et de premier terme u0=1 100u_{0}=1\,100.
    Question 4

    Pour tout entier naturel nn, en déduire une expression de unu_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=1 100u_{0}=1\,100 et la raison vaut q=0,99q=0{,}99.
    Il en résulte donc que :
    un=1 100×0,99nu_{n}=1\,100\times 0{,}99^{n}
    Question 5

    Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 20282028.
    On ne demande pas d'effectuer ce calcul.

    Correction
    On remarque que : 2028=2020+82028=2020+8. Il en résulte donc que l'année 20282028 correspond au rang 88.
    Comme un=1 100×0,99nu_{n}=1\,100\times 0{,}99^{n} alors :
    u8=1 100×0,998u_{8}=1\,100\times 0{,}99^{8}
    Remarque : à la calculatrice, u8≈1 015u_{8}\approx 1\,015 m.
    Question 6

    Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 20202020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

    Correction
    Le niveau est insuffisant lorsqu'il est en dessous de 1 0201\,020 mètres, c'est-à-dire lorsque u<1 020u\lt 1\,020. Il faut donc continuer à calculer les niveaux successifs tant que u⩾1 020u\geqslant 1\,020.
    Dans la boucle, on passe d'une année à la suivante en multipliant le niveau par 0,990{,}99.
    Ainsi, le programme complété est :
    Remarque : ce programme affiche 88 car u7≈1 025,3u_{7}\approx 1\,025{,}3 et 1 025,3⩾1 0201\,025{,}3\geqslant 1\,020, alors que u8≈1 015u_{8}\approx 1\,015 et 1 015<1 0201\,015\lt 1\,020. Le niveau deviendrait insuffisant en 20282028.

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