Sujet Antilles-Guyane – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture.
En janvier 20252025, la valeur de la voiture est égale à 10 00010\,000 euros.
On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de 10%10\%.
Pour tout entier naturel nn, on note unu_n la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année 2025+n2025+n.
On a donc u0=10 000u_0=10\,000.
Question 1

Calculer la valeur de la voiture en janvier 20262026.

Correction
Chaque année, la valeur de la voiture diminue de 10%10\%. C'est-à-dire une diminution de 10%10\%. On multiplie donc par le coefficient multiplicateur 1−10100=0,91-\dfrac{10}{100}=0{,}9.
Janvier 20262026 correspond au rang 11 car 2026=2025+12026=2025+1.
Il en résulte donc que : u1=u0×0,9=10 000×0,9u_{1}=u_{0}\times 0{,}9=10\,000\times 0{,}9
D'où :
u1=9 000u_{1}=9\,000

En janvier 20262026, la voiture vaut 9 0009\,000 euros.
Question 2

Justifier que pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9 unu_{n+1}=0{,}9\,u_n.

Correction
D'une année à la suivante, la valeur de la voiture diminue de 10%10\% : on multiplie donc par le coefficient multiplicateur q=1−10100=0,9q=1-\dfrac{10}{100}=0{,}9.
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0,90{,}9. Ainsi :
un+1=0,9×unu_{n+1}=0{,}9\times u_{n}
Question 3

En déduire la nature de la suite (un)(u_n) et préciser sa raison.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Comme
    un+1=0,9×unu_{n+1}=0{,}9\times u_{n}

    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=0,9q=0{,}9 et de premier terme u0=10 000u_{0}=10\,000.
    Question 4
    Aide au calcul : 0,94=0,65610{,}9^4=0{,}6561 ; 0,95=0,590490{,}9^5=0{,}59049 ; 0,96=0,5314410{,}9^6=0{,}531441

    Pour tout entier naturel nn, exprimer le terme unu_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=10 000u_{0}=10\,000 et la raison vaut q=0,9q=0{,}9.
    Il en résulte donc que :
    un=10 000×0,9nu_{n}=10\,000\times 0{,}9^{n}
    Question 5

    En déduire la valeur de la voiture en janvier 20302030.
    On pourra s'aider de l'aide au calcul.

    Correction
    On remarque que : 2030=2025+52030=2025+5. Il en résulte donc que janvier 20302030 correspond au rang 55.
    Ainsi :
    u5=10 000×0,95u_{5}=10\,000\times 0{,}9^{5}
    u5=10 000×0,59049u_{5}=10\,000\times 0{,}59049
    u5=5 904,9u_{5}=5\,904{,}9

    En janvier 20302030, la voiture vaudra 5 904,905\,904{,}90 euros.
    Question 6
    On considère le programme Python ci-dessous.

    Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de nn telle que un<Au_n\lt A, où AA est un nombre réel strictement positif.

    Correction
    La fonction doit renvoyer le premier rang NN pour lequel uN<Au_{N}\lt A. Il faut donc continuer à calculer les termes tant que U⩾AU\geqslant A : c'est la condition de la boucle while.
    Dans la boucle, on passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,90{,}9 (question 2), puis on augmente le rang de 11.
    Ainsi, le programme complété est :
    Remarque : en Python, le nombre 0,90{,}9 s'écrit 0.9, avec un point.
    Question 7
    L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de AA, donne les résultats suivants :

    Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel seuil(5000).

    Correction
    L'appel seuil(5000) renvoie la plus petite valeur de nn telle que un<5 000u_{n}\lt 5\,000. Il renvoie 77 : on a donc u7<5 000u_{7}\lt 5\,000, alors que les termes précédents sont supérieurs ou égaux à 5 0005\,000.
    Or 2025+7=20322025+7=2032.
    Ainsi :
    C'est à partir de janvier 20322032 que la valeur de la voiture deviendra inférieure à 5 0005\,000 euros.

    Autrement dit, en 20322032 la voiture aura perdu plus de la moitié de sa valeur initiale.
    Question 8

    Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

    Correction
    Perdre plus des trois quarts de sa valeur initiale signifie qu'il reste moins d'un quart de la valeur initiale. C'est-à-dire une diminution de plus de 75%75\%. On multiplie donc par le coefficient multiplicateur 1−75100=0,251-\dfrac{75}{100}=0{,}25.
    Pour obtenir la valeur recherchée il nous faut donc faire le calcul u0×0,25=10 000×0,25=2 500u_{0}\times 0{,}25=10\,000\times 0{,}25=2\,500.
    On cherche donc la plus petite valeur de nn telle que un<2 500u_{n}\lt 2\,500 : c'est le résultat de l'appel seuil(2500), qui renvoie 1414.
    Or 2025+14=20392025+14=2039.
    Ainsi :
    C'est à partir de l'année 20392039 que la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

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