Sujet Amérique du Nord – 1er juin 2026 (exercice 2, partie B) - Exercice 1

25 min
40
Pour réduire sa facture d'électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison.
Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.
Le coût pour 11 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,150{,}15 € en 20202020. On admet que ce tarif réglementé augmente de 6%6\% chaque année.
On note cnc_n le coût en euros (€) pour 11 kWh consommé durant l'année 2020+n2020+n, avec nn un entier naturel. On a alors c0=0,15c_0=0{,}15.
Question 1

Déterminer la nature de la suite (cn)(c_n). On précisera sa raison.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Chaque année le tarif augmente de 6%6\%, il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+6100=1,061+\dfrac{6}{100}=1{,}06.
    Ainsi, pour tout entier naturel nn, on a :
    cn+1=cn×1,06c_{n+1}=c_{n}\times 1{,}06

    La suite (cn)\left(c_{n}\right) est alors une suite géométrique de raison q=1,06q=1{,}06 et de premier terme c0=0,15c_{0}=0{,}15.
    Question 2

    Pour tout entier naturel nn, exprimer cnc_n en fonction de nn.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut c0=0,15c_{0}=0{,}15 et la raison vaut q=1,06q=1{,}06.
    Il en résulte donc que :
    cn=0,15×1,06nc_{n}=0{,}15\times 1{,}06^{n}
    Question 3

    Donner le calcul permettant d'obtenir le coût pour 11 kWh consommé en 20302030. Il n'est pas demandé d'effectuer ce calcul.

    Correction
    Pour répondre à cette question, il faut utiliser l'expression de cnc_{n} en fonction de nn.
    On remarque que : 2030=2020+102030=2020+10. Il en résulte donc que l'année 20302030 correspond au rang 1010.
    Comme cn=0,15×1,06nc_{n}=0{,}15\times 1{,}06^{n} alors :
    c10=0,15×1,0610c_{10}=0{,}15\times 1{,}06^{10}
    Remarque : à la calculatrice, on trouve c10≈0,27c_{10}\approx 0{,}27 : en 20302030, le kWh coûterait environ 0,270{,}27 €.
    Question 4
    On admet que, chaque année depuis 20202020, l'utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d'éviter l'achat de 2 0002\,000 kWh par an. L'installation des panneaux solaires en janvier 20202020 a coûté à Camille 7 0007\,000 €. On considère le programme Python ci-dessous :

    Dans le contexte de l'énoncé, que représentent les variables c et S du programme ?

    Correction
    Analysons le programme ligne par ligne :
    • au départ, c = 0.15 : c'est le coût d'un kWh en 20202020, c'est-à-dire c0c_{0} ;
    • à chaque passage dans la boucle, l'instruction c = 1.06*c multiplie c par 1,061{,}06 : on passe du coût d'une année au coût de l'année suivante ;
    • à chaque passage dans la boucle, l'instruction S = S + c*2000 ajoute à S le prix des 2 0002\,000 kWh que Camille n'a pas eu à acheter dans l'année.
    Ainsi :
    c contient le coût (en euros) d'un kWh pour l'année en cours : après nn passages dans la boucle, c =cn=c_{n}.
    S contient le montant total (en euros) des économies réalisées par Camille depuis 20202020 grâce à ses panneaux solaires.

    Voici les premières étapes du programme :
    Question 5

    On exécute le programme. Il affiche 1616.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

    Correction
    La boucle while S < 7000 continue tant que les économies réalisées sont strictement inférieures à 7 0007\,000 €, c'est-à-dire tant que l'installation n'est pas remboursée. Elle s'arrête dès que S⩾7 000S\geqslant 7\,000 et le programme affiche alors le nombre n d'années écoulées.
    Le programme affiche 1616 : il a fallu 1616 années d'utilisation, de 20202020 à 20352035, pour que les économies dépassent pour la première fois le coût de l'installation (tableau de la question précédente : S≈6 983S\approx 6\,983 après 1515 années et S≈7 702S\approx 7\,702 après 1616 années).
    Ainsi :
    Camille aura rentabilisé ses panneaux solaires au bout de 1616 ans, c'est-à-dire à la fin de l'année 20352035.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.