Suites arithmétiques et géométriques

Suite géométrique - Exercice 3

15 min
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Soit nn un entier naturel non nul.
Précisez pour chaque cas si la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique ou non.
Question 1

un=3×2nu_{n} =3\times 2^{n}

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=3×2nu_{n} =3\times 2^{n} alors :
un+1=3×2n+1u_{n+1} =3\times 2^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } .
un+1un=3×2n+13×2n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{3\times 2^{n+1} }{3\times 2^{n} } équivaut successivement à :
un+1un=3×2n+13×2n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\cancel{3}\times 2^{n+1} }{\cancel{3}\times 2^{n} }
un+1un=2n+12n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{2^{n} }
un+1un=2n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2^{n+1-n}
un+1un=2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2
Il en résulte que la suite un=3×2nu_{n} =3\times 2^{n} est une suite géométrique de raison 22.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.
Question 2

un=4nn+1u_{n} =\frac{4^{n} }{n+1}

Correction
On remarque ici que la suite n'est pas de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite n'est pas géométrique. Ici, c'est juste une aide, nous allons voir ci-dessous comment le rédiger sur une copie avec votre professeur.
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) dont nous avons calculé les termes u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Si u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} } alors la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est pas une suite géométrique.
1ère étape : Calculer u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Comme un=4nn+1u_{n} =\frac{4^{n} }{n+1} alors :
u0=400+1u_{0} =\frac{4^{0} }{0+1} d'où : u0=1u_{0} =1
u1=411+1u_{1} =\frac{4^{1} }{1+1} d'où : u1=2u_{1} =2
u2=422+1u_{2} =\frac{4^{2} }{2+1} d'où : u2=163u_{2} =\frac{16}{3}
2ème étape : Calculer u1u0\frac{u_{1} }{u_{0} } et u2u1\frac{u_{2} }{u_{1} }.
u1u0=2\frac{u_{1} }{u_{0} }=2
u2u1=(163)2\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{\left(\frac{16}{3} \right)}{2} ou encore u2u1=163×12\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{16}{3}\times\frac{1}{2} ce qui nous donne enfin : u2u1=83\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{8}{3}
Or :
u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} }

Il en résulte que la suite un=4nn+1u_{n} =\frac{4^{n} }{n+1} n'est pas une suite géométrique.
Question 3

un=35n+1u_{n} =\frac{3}{5^{n+1}}

Correction
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
un+1un=35n+1+135n+1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\frac{3}{5^{n+1+1} } }{\frac{3}{5^{n+1} } }
un+1un=35n+235n+1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\frac{3}{5^{n+2} } }{\frac{3}{5^{n+1} } }
un+1un=35n+2×5n+13\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{3}{5^{n+2} } \times \frac{5^{n+1} }{3}
un+1un=5n+15n+2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{5^{n+1} }{5^{n+2} }
un+1un=5n+1−(n+2)\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =5^{n+1-\left(n+2\right)}
un+1un=5n+1−n−2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =5^{n+1-n-2}
un+1un=5−1\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =5^{-1}
un+1un=15\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{1}{5}
Il en résulte que la suite un=35n+1u_{n} =\frac{3}{5^{n+1}} est une suite géométrique de raison 15\frac{1}{5}.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.
Question 4

(un)\left(u_{n}\right) est la suite définie par : {u0=1un+1=2un+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {2u_{n}+3} \end{array}\right.

Correction
On remarque ici que la suite n'est pas de la forme un+1=q×unu_{n+1}=q\times u_{n} , alors la suite n'est pas géométrique. Ici, c'est juste une aide, nous allons voir ci-dessous comment le rédiger sur une copie avec votre professeur.
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) dont nous avons calculé les termes u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Si u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} } alors la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est pas une suite géométrique.
1ère étape : Calculer u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Comme {u0=1un+1=2un+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {2u_{n}+3} \end{array}\right. alors :
u0+1=2u0+3u_{0+1} =2u_{0}+3 d'où : u1=2×1+3u_{1} =2\times1 +3 c'est à dire u1=5u_{1} =5
u1+1=2u1+3u_{1+1} =2u_{1}+3 d'où : u2=2×5+3u_{2} =2\times5 +3 c'est à dire u2=13u_{2} =13
2ème étape : Calculer u1u0\frac{u_{1} }{u_{0} } et u2u1\frac{u_{2} }{u_{1} }.
u1u0=5\frac{u_{1} }{u_{0} }=5
u2u1=135\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{13}{5}
Or :
u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} }

Il en résulte que la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par : {u0=1un+1=2un+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {2u_{n}+3} \end{array}\right. n'est pas une suite géométrique.