Soit n un entier naturel non nul. Précisez pour chaque cas si la suite (un) est géométrique ou non.
Question 1
un=3×2n
Correction
Soit (un) une suite dont les termes sont strictement positifs. Si unun+1=Q où Q est un réel, alors la suite (un) est géométrique. Dans ce cas, le réel Q sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1 en fonction de n. Comme un=3×2n alors : un+1=3×2n+1 2ème étape : Calcul de unun+1 . unun+1=3×2n3×2n+1 équivaut successivement à : unun+1=3×2n3×2n+1 unun+1=2n2n+1 unun+1=2n+1−n unun+1=2 Il en résulte que la suite un=3×2n est une suite géométrique de raison 2.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qn , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de unun+1.
Question 2
un=n+14n
Correction
On remarque ici que la suite n'est pas de la forme a×qn , alors la suite n'est pas géométrique. Ici, c'est juste une aide, nous allons voir ci-dessous comment le rédiger sur une copie avec votre professeur.
Soit la suite (un) dont nous avons calculé les termes u0 , u1 et u2. Si u0u1=u1u2 alors la suite (un) n'est pas une suite géométrique.
1ère étape : Calculer u0 , u1 et u2. Comme un=n+14n alors : u0=0+140 d'où : u0=1 u1=1+141 d'où : u1=2 u2=2+142 d'où : u2=316 2ème étape : Calculer u0u1 et u1u2. u0u1=2 u1u2=2(316) ou encore u1u2=316×21 ce qui nous donne enfin : u1u2=38 Or :
u0u1=u1u2
Il en résulte que la suite un=n+14n n'est pas une suite géométrique.
Question 3
un=5n+13
Correction
Soit (un) une suite dont les termes sont strictement positifs. Si unun+1=Q où Q est un réel, alors la suite (un) est géométrique. Dans ce cas, le réel Q sera la raison de la suite géométrique.
unun+1=5n+135n+1+13 unun+1=5n+135n+23 unun+1=5n+23×35n+1 unun+1=5n+25n+1 unun+1=5n+1−(n+2) unun+1=5n+1−n−2 unun+1=5−1 unun+1=51 Il en résulte que la suite un=5n+13 est une suite géométrique de raison 51.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qn , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de unun+1.
Question 4
(un) est la suite définie par : {u0un+1==12un+3
Correction
On remarque ici que la suite n'est pas de la forme un+1=q×un , alors la suite n'est pas géométrique. Ici, c'est juste une aide, nous allons voir ci-dessous comment le rédiger sur une copie avec votre professeur.
Soit la suite (un) dont nous avons calculé les termes u0 , u1 et u2. Si u0u1=u1u2 alors la suite (un) n'est pas une suite géométrique.
1ère étape : Calculer u0 , u1 et u2. Comme {u0un+1==12un+3 alors : u0+1=2u0+3 d'où : u1=2×1+3 c'est à dire u1=5 u1+1=2u1+3 d'où : u2=2×5+3 c'est à dire u2=13 2ème étape : Calculer u0u1 et u1u2. u0u1=5 u1u2=513 Or :
u0u1=u1u2
Il en résulte que la suite (un) définie par : {u0un+1==12un+3 n'est pas une suite géométrique.
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