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Suites arithmétiques et géométriques

Suite géométrique - Exercice 2

10 min
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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison q=2q=2 et de premier terme u1=5u_{1} =5.

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}. Puis calculer u2u_{2} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times qqq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
  • Ainsi :
    un+1=un×2u_{n+1} =u_{n}\times2
    Finalement :
    un+1=2unu_{n+1} =2u_{n}
  • Calcul de u2u_{2} .
  • u1+1=2×u1u_{1+1} =2\times u_{1}
    u2=2×u1u_{2} =2\times u_{1}
    u2=2×5u_{2} =2\times 5 d'où :
    u2=10u_{2} =10

    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .
    Puis calculer u6u_{6} .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qnpu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=5u_{1} =5.
    Il en résulte donc que :
    un=5×2n1u_{n} =5\times2^{n-1}
  • Calcul de u6u_{6} .
  • u6=5×261u_{6} =5\times2^{6-1}
    u6=5×25u_{6} =5\times2^{5}
    u6=160u_{6} =160