Suite arithmétique - Exercice 4

On peut écrire, dans notre cas, que :
$$u_{4} =u_{0} +\left(4-0\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{4} =u_{0} +\left(4-0\right)\times r$$
$$37=5+4\times r$$
$$37=5+4r$$
$$37-5=4r$$
$$32=4r$$
$$\frac{32}{4} =r$$

La raison de la suite arithmétique $$\left(u_{n} \right)$$ vaut $$8$$.
Maintenant, pour calculer la valeur de $$u_{15}$$, on exprime $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Ainsi :
$$u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{n} =u_{0} +\left(n-0\right)\times r$$
$$u_{n} =u_{0} +n\times r$$
$$u_{n} =5+8n$$
D'où :
$$u_{15} =5+8\times 15$$

On peut écrire, dans notre cas, que :
$$u_{11} =u_{5} +\left(11-5\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{11} =u_{5} +6\times r$$
$$25=13+6\times r$$
$$25-13=6r$$
$$12=6r$$
$$\frac{12}{6} =r$$

La raison de la suite arithmétique $$\left(u_{n} \right)$$ vaut $$2$$.
Maintenant, pour calculer la valeur de $$u_{0}$$, on exprime $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{5} =u_{0} +\left(5-0\right)\times r$$
$$u_{5} =u_{0} +5r$$
$$13=u_{0} +5\times 2$$
$$13=u_{0} +10$$
$$13-10=u_{0}$$

On peut écrire, dans notre cas, que :
$$u_{42} =u_{26} +\left(42-26\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{42} =u_{26} +16\times r$$
$$-13=3+16\times r$$
$$-13-3=16\times r$$
$$-16=16\times r$$
$$-\frac{16}{16} =r$$

La raison de la suite arithmétique $$\left(u_{n} \right)$$ vaut $$-1$$.
Maintenant, pour calculer la valeur de $$u_{0}$$, on exprime $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{26} =u_{0} +\left(26-0\right)\times r$$
$$u_{26} =u_{0} +26r$$
$$3=u_{0} +26\times \left(-1\right)$$
$$3=u_{0} -26$$
$$3+26=u_{0}$$