Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique - Exercice 4

12 min
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Les questions sont indépendantes.
Question 1

Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison rr. On sait que u0=5u_{0} =5 et u4=37u_{4} =37. Calculer la raison rr puis calculer u15u_{15} .

Correction
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
On peut écrire, dans notre cas, que :
u4=u0+(40)×ru_{4} =u_{0} +\left(4-0\right)\times r équivaut successivement à :
u4=u0+(40)×ru_{4} =u_{0} +\left(4-0\right)\times r
37=5+4×r37=5+4\times r
37=5+4r37=5+4r
375=4r37-5=4r
32=4r32=4r
324=r\frac{32}{4} =r
8=r8=r

La raison de la suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) vaut 88.
Maintenant, pour calculer la valeur de u15u_{15} , on exprime unu_{n} en fonction de nn.
Ainsi :
un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r équivaut successivement à :
un=u0+(n0)×ru_{n} =u_{0} +\left(n-0\right)\times r
un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r
un=5+8nu_{n} =5+8n
D'où :
u15=5+8×15u_{15} =5+8\times 15
u15=125u_{15} =125
Question 2

Sachant que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique, que u5=13u_{5} =13 et u11=25u_{11} =25, calculer la raison rr puis calculer u0u_{0} .

Correction
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
On peut écrire, dans notre cas, que :
u11=u5+(115)×ru_{11} =u_{5} +\left(11-5\right)\times r équivaut successivement à :
u11=u5+6×ru_{11} =u_{5} +6\times r
25=13+6×r25=13+6\times r
2513=6r25-13=6r
12=6r12=6r
126=r\frac{12}{6} =r
2=r2=r

La raison de la suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) vaut 22.
Maintenant, pour calculer la valeur de u0u_{0} , on exprime unu_{n} en fonction de nn. Ainsi :
un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r équivaut successivement à :
u5=u0+(50)×ru_{5} =u_{0} +\left(5-0\right)\times r
u5=u0+5ru_{5} =u_{0} +5r
13=u0+5×213=u_{0} +5\times 2
13=u0+1013=u_{0} +10
1310=u013-10=u_{0}
3=u03=u_{0}
Question 3

Sachant que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique, que u26=3u_{26} =3 et u42=13u_{42} =-13, calculer la raison rr puis calculer u0u_{0} .

Correction
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
On peut écrire, dans notre cas, que :
u42=u26+(4226)×ru_{42} =u_{26} +\left(42-26\right)\times r équivaut successivement à :
u42=u26+16×ru_{42} =u_{26} +16\times r
13=3+16×r-13=3+16\times r
133=16×r-13-3=16\times r
16=16×r-16=16\times r
1616=r-\frac{16}{16} =r
r=1r=-1

La raison de la suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) vaut 1-1.
Maintenant, pour calculer la valeur de u0u_{0} , on exprime unu_{n} en fonction de nn. Ainsi :
un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r équivaut successivement à :
u26=u0+(260)×ru_{26} =u_{0} +\left(26-0\right)\times r
u26=u0+26ru_{26} =u_{0} +26r
3=u0+26×(1)3=u_{0} +26\times \left(-1\right)
3=u0263=u_{0} -26
3+26=u03+26=u_{0}
29=u029=u_{0}