Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique - Exercice 2

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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison r=9r=9 et de premier terme u1=−2u_{1} =-2.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}. Puis calculer u2u_{2} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    un+1=un+9u_{n+1} =u_{n} +9
  • Calcul de u2u_{2} .
    • u1+1=u1+9u_{1+1} =u_{1} +9
    u2=u1+9u_{2} =u_{1} +9
    u2=−2+9u_{2} =-2+9 d'où :
    u2=7u_{2} =7

    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .
    Puis calculer u10u_{10} .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=−2u_{1} =-2.
    Il en résulte donc que : un=−2+(n−1)×9u_{n} =-2 +\left(n-1\right)\times 9 . Nous développons maintenant l'expression, cela donne :
    un=−2+9×n+9×(−1)u_{n} =-2 +9\times n+9\times \left(-1\right)
    un=−2+9n−9u_{n} =-2 +9n-9 .
    Autrement dit :
    un=9n−11u_{n} =9n-11
  • Calcul de u10u_{10} .
    • Il vient alors que :
    u10=9×10−11u_{10} =9\times10-11
    u10=90−11u_{10} =90-11
    u10=79u_{10} =79