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Suites arithmétiques et géométriques
Suite arithmétique - Exercice 1
10 min
15
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique de raison
r
=
2
r=2
r
=
2
et de premier terme
u
0
=
5
u_{0} =5
u
0
=
5
.
Question 1
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique.
L'expression de
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
u
n
u_{n}
u
n
est donnée par la relation de récurrence :
u
n
+
1
=
u
n
+
r
u_{n+1} =u_{n} +r
u
n
+
1
=
u
n
+
r
où
r
r
r
est la
raison
{\color{blue}\text{raison}}
raison
de la suite
arithmétique
.
Ainsi :
u
n
+
1
=
u
n
+
2
u_{n+1} =u_{n} +2
u
n
+
1
=
u
n
+
2
Question 2
Calculer
u
1
u_{1}
u
1
et
u
2
u_{2}
u
2
.
Correction
Nous savons que
u
n
+
1
=
u
n
+
2
u_{n+1} =u_{n} +2
u
n
+
1
=
u
n
+
2
et que
u
0
=
5
u_{0} =5
u
0
=
5
.
Calcul de
u
1
u_{1}
u
1
.
u
0
+
1
=
u
0
+
2
u_{0+1} =u_{0} +2
u
0
+
1
=
u
0
+
2
u
1
=
u
0
+
2
u_{1} =u_{0} +2
u
1
=
u
0
+
2
u
1
=
5
+
2
u_{1} =5 +2
u
1
=
5
+
2
d'où :
u
1
=
7
u_{1} =7
u
1
=
7
Calcul de
u
2
u_{2}
u
2
.
u
1
+
1
=
u
1
+
2
u_{1+1} =u_{1} +2
u
1
+
1
=
u
1
+
2
u
2
=
u
1
+
2
u_{2} =u_{1} +2
u
2
=
u
1
+
2
u
2
=
7
+
2
u_{2} =7 +2
u
2
=
7
+
2
d'où :
u
2
=
9
u_{2} =9
u
2
=
9
Question 3
Exprimer
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Donner le terme général de la suite
u
n
u_{n}
u
n
.
Ces deux phrases signifient la même chose
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
0
+
n
×
r
u_{n} =u_{0} +n\times r
u
n
=
u
0
+
n
×
r
: lorsque le premier terme vaut
u
0
u_{0}
u
0
.
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
: lorsque le premier terme vaut
u
1
u_{1}
u
1
.
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
: formule avec un premier terme
u
p
u_{p}
u
p
quelconque .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
0
=
5
u_{0} =5
u
0
=
5
.
Il en résulte donc que :
u
n
=
5
+
n
×
2
u_{n} =5 +n\times 2
u
n
=
5
+
n
×
2
Autrement dit :
u
n
=
5
+
2
n
u_{n} =5 +2n
u
n
=
5
+
2
n
Question 4
Calculer
u
8
u_{8}
u
8
.
Correction
Pour déterminer la valeur de
u
8
u_{8}
u
8
, il est plus simple de travailler avec la formule explicite :
u
n
=
5
+
2
n
u_{n} =5 +2n
u
n
=
5
+
2
n
Il vient alors que :
u
8
=
5
+
2
×
8
u_{8} =5 +2\times8
u
8
=
5
+
2
×
8
u
8
=
5
+
16
u_{8} =5 +16
u
8
=
5
+
16
u
8
=
21
u_{8} =21
u
8
=
21