Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison r=2r=2 et de premier terme u0=5u_{0} =5.

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +rrr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
  • Ainsi :
    un+1=un+2u_{n+1} =u_{n} +2
    Question 2

    Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

    Correction
    Nous savons que un+1=un+2u_{n+1} =u_{n} +2 et que u0=5u_{0} =5 .
  • Calcul de u1u_{1} .
  • u0+1=u0+2u_{0+1} =u_{0} +2
    u1=u0+2u_{1} =u_{0} +2
    u1=5+2u_{1} =5 +2 d'où :
    u1=7u_{1} =7
  • Calcul de u2u_{2} .
  • u1+1=u1+2u_{1+1} =u_{1} +2
    u2=u1+2u_{2} =u_{1} +2
    u2=7+2u_{2} =7 +2 d'où :
    u2=9u_{2} =9
    Question 3

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=5u_{0} =5.
    Il en résulte donc que : un=5+n×2u_{n} =5 +n\times 2
    Autrement dit :
    un=5+2nu_{n} =5 +2n
    Question 4

    Calculer u8u_{8}.

    Correction
    Pour déterminer la valeur de u8u_{8}, il est plus simple de travailler avec la formule explicite : un=5+2nu_{n} =5 +2n
    Il vient alors que :
    u8=5+2×8u_{8} =5 +2\times8
    u8=5+16u_{8} =5 +16
    u8=21u_{8} =21