Suites arithmétiques et géométriques

Sens de variation pour une suite géométrique - Exercice 1

10 min
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Question 1
Déterminer le sens de variation pour chacune des suites géométriques ci-dessous :

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 22 et de premier terme u0=2u_{0}=-2 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
  • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
  • Si q<0q<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas monotone.
Nous savons que : q=2>1q=2>1 et u0=2<0u_{0}=-2<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
Question 2

un=14×(12)nu_{n} =-\frac{1}{4} \times \left(\frac{1}{2} \right)^{n}

Correction
Il s'agit ici de la forme explicite de la suite (un)\left(u_{n}\right) ou encore le terme général de la suite unu_{n} .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qnpu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
  • Nous savons que un=14×(12)nu_{n} =-\frac{1}{4} \times \left(\frac{1}{2} \right)^{n} . Ainsi q=12q=\frac{1}{2} et u0=14u_{0}=-\frac{1}{4}
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
    • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    • Si q<0q<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas monotone.
    Or :
    q=12q=\frac{1}{2} ainsi 0<q<10<q<1 et u0=14<0u_{0}=-\frac{1}{4}<0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    Question 3

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=5un+1=4un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {5} \\ {u_{n+1} } & {=} & {4u_{n}} \end{array}\right.

    Correction
    Nous savons que la suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=5un+1=4un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {5} \\ {u_{n+1} } & {=} & {4u_{n}} \end{array}\right.
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n} \times qqq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
  • Ainsi q=4q=4 et u0=5u_{0}=5 c'est à dire q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
    • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    • Si q<0q<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas monotone.
    Question 4

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=2un+1=0,5un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {-2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {-0,5u_{n}} \end{array}\right.

    Correction
    Nous savons que la suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=2un+1=0,5un\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {-2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {-0,5u_{n}} \end{array}\right.
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n} \times qqq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
  • Ainsi q=0,5q=-0,5 et u0=2u_{0}=-2 c'est à dire q<0q<0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est n'est pas monotone.
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
    • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    • Si q<0q<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas monotone.