Suites arithmétiques et géométriques

Sens de variation pour une suite arithmétique - Exercice 1

10 min
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Déterminer le sens de variation pour chacune des suites arithmétiques ci-dessous :
Question 1

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison −1-1 et de premier terme u0=2u_{0}=2 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
  • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
  • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
  • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
Nous savons que la suite (un)\left(u_{n}\right) admet une raison −1-1 et de premier terme u0=2u_{0}=2 .
Ainsi r=−1<0r=-1<0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
Question 2

(un)\left(u_{n}\right) admet une raison 13\frac{1}{3} et de premier terme u0=−6u_{0}=-6 .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
  • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
  • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
  • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
Nous savons que la suite (un)\left(u_{n}\right) admet une raison 13\frac{1}{3} et de premier terme u0=−6u_{0}=-6 .
Ainsi r=13>0r=\frac{1}{3}>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
Question 3

un=−4+6nu_{n}=-4+6n

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
  • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
  • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
  • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
Il s'agit ici de la forme explicite de la suite (un)\left(u_{n}\right) ou encore le terme général de la suite unu_{n} .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(n−p)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Nous savons que un=−4+6nu_{n}=-4+6n .
    Ainsi r=6>0r=6>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
    Question 4

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=12un+1=un−7\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {\frac{1}{2}} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}-7} \end{array}\right.

    Correction
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
    • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
    • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
    • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.
    Nous savons que la suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=12un+1=un−7\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {\frac{1}{2}} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}-7} \end{array}\right.
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi r=−7<0r=-7<0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.