Suites arithmétiques et géométriques

Petits problèmes.. - Exercice 3

10 min
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Question 1
Soit la suite (un)\left(u_{n}\right) définie sur N\mathbb{N} par {u0=1un+1=2un−5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {2u_{n} -5} \end{array}\right.

Calculer les trois premiers termes de la suite.

Correction
On sait que : un+1=2un−5u_{n+1}=2u_{n} -5 et que u0=1u_{0}=1.
Il vient alors que :
u0+1=2u0−5u_{0+1}=2u_{0} -5 d'où : u1=2×1−5u_{1}=2\times1 -5 et donc
u1=−3u_{1}=-3

u1+1=2u1−5u_{1+1}=2u_{1} -5 d'où : u2=2×(−3)−5u_{2}=2\times\left(-3\right) -5 et donc
u2=−11u_{2}=-11
Question 2

La suite (un)\left(u_{n}\right) est-elle arithmétique? Géométrique? Justifier.

Correction
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) dont nous avons calculé les termes u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Si u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1} alors la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est pas une suite arithmétique.
On a :
u1−u0=−3−1u_{1} -u_{0} =-3-1 ainsi : u1−u0=−4u_{1} -u_{0} =-4
u2−u1=−11−(−3)u_{2} -u_{1} =-11-\left(-3\right) ainsi : u2−u1=−8u_{2} -u_{1} =-8
Or
u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1}

Il en résulte que la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas une suite arithmétique.
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) dont nous avons calculé les termes u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Si u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} } alors la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est pas une suite géométrique.
u1u0=−31=−3\frac{u_{1} }{u_{0} }=\frac{-3}{1}=-3
u2u1=−11−3\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{-11}{-3} ou encore u2u1=113\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{11}{3} ce qui nous donne enfin : u2u1=113\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{11}{3}
Or :
u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} }

Il en résulte que la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas une suite géométrique.