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Suites arithmétiques et géométriques
Petits problèmes.. - Exercice 2
15 min
25
Question 1
La suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est une suite géométrique de raison
q
q
q
et de premier terme
u
0
u_{0}
u
0
.
On donne
u
3
=
32
u_{3}=32
u
3
=
32
et
u
6
=
256
u_{6}=256
u
6
=
256
Déterminer la raison
q
q
q
et le premier terme
u
0
u_{0}
u
0
.
Correction
L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
u_{n} =u_{p} \times q^{n-p}
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
Il vient alors que :
u
6
=
u
3
×
q
6
−
3
u_{6} =u_{3} \times q^{6-3}
u
6
=
u
3
×
q
6
−
3
équivaut successivement à :
u
6
=
u
3
×
q
3
u_{6} =u_{3} \times q^{3}
u
6
=
u
3
×
q
3
256
=
32
×
q
3
256 =32\times q^{3}
256
=
32
×
q
3
256
32
=
q
3
\frac{256}{32} =q^{3}
32
256
=
q
3
q
3
=
8
q^{3}=8
q
3
=
8
alors
q
=
2
q=2
q
=
2
.
Maintenant, pour calculer la valeur de
u
0
u_{0}
u
0
, on exprime
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
. Ainsi :
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
u_{n} =u_{p} \times q^{n-p}
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
équivaut successivement à :
u
3
=
u
0
×
q
3
−
0
u_{3} =u_{0} \times q^{3-0}
u
3
=
u
0
×
q
3
−
0
32
=
u
0
×
2
3
32 =u_{0} \times 2^{3}
32
=
u
0
×
2
3
u
0
=
32
8
u_{0}=\frac{32}{8}
u
0
=
8
32
u
0
=
4
u_{0}=4
u
0
=
4
Il en résulte donc que :
u
n
=
4
×
2
n
u_{n} =4 \times 2^{n}
u
n
=
4
×
2
n
Question 2
Déterminer
n
n
n
pour que
u
n
=
131
u_{n}=131
u
n
=
131
072
072
072
.
Correction
Comme
u
n
=
4
×
2
n
u_{n} =4 \times 2^{n}
u
n
=
4
×
2
n
alors il nous faut résoudre l'équation :
4
×
2
n
=
131
072
4 \times 2^{n}=131\;072
4
×
2
n
=
131
072
équivaut successivement à :
2
n
=
131
072
4
2^{n}=\frac{131\;072}{4}
2
n
=
4
131
072
2
n
=
131
072
4
2^{n}=\frac{131\;072}{4}
2
n
=
4
131
072
2
n
=
32
2^{n}=32
2
n
=
32
768
768
768
A l'aide de la calculatrice et du tableur, on remarque que :
2
15
=
32
2^{15}=32
2
15
=
32
768
768
768
Il en résulte donc que
u
15
=
131
u_{15}=131
u
15
=
131
072
072
072
.
Question 3
Calculer la somme
S
=
4
+
8
+
16
+
…
+
131
072
S=4+8+16+\ldots +131\;072
S
=
4
+
8
+
16
+
…
+
131
072
.
Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
premier terme
)
×
(
1
−
q
nombres de termes
1
−
q
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
premier terme
)
×
(
1
−
q
1
−
q
nombres de termes
)
S
=
4
+
8
+
16
+
…
+
131
072
S=4+8+16+\ldots +131\;072
S
=
4
+
8
+
16
+
…
+
131
072
équivaut successivement à :
S
=
u
0
+
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
S=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{15}
S
=
u
0
+
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
. Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison
2
2
2
.
De plus, il y a en tout
16
16
16
termes en partant de
u
0
u_{0}
u
0
à
u
15
u_{15}
u
15
.
On applique la formule :
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
(
premier terme
)
×
(
1
−
q
nombres de termes
1
−
q
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
(
premier terme
)
×
(
1
−
q
1
−
q
nombres de termes
)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
u
0
×
(
1
−
q
16
1
−
q
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{16} }{1-q} \right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
u
0
×
(
1
−
q
1
−
q
16
)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
4
×
(
1
−
2
16
1
−
2
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=4 \times \left(\frac{1-2^{16} }{1-2} \right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
4
×
(
1
−
2
1
−
2
16
)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
262
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=262
u
0
+
u
1
+
…
+
u
15
=
262
140
140
140
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant :
grand indice
−
petit indice
+
1
\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
grand indice
−
petit indice
+
1
La somme
S
=
u
0
+
u
1
+
u
2
+
…
+
u
n
S=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}
S
=
u
0
+
u
1
+
u
2
+
…
+
u
n
comprend
n
+
1
n+1
n
+
1
termes. Ici le plus grand indice est
n
n
n
, le plus petit indice est
0
0
0
. Ainsi le nombre de termes est égale à :
n
−
0
+
1
=
n
+
1
n-0+1=n+1
n
−
0
+
1
=
n
+
1
. Nous avons donc
n
+
1
n+1
n
+
1
termes.
La somme
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
n
S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n}
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
n
comprend
n
n
n
termes. Ici le plus grand indice est
n
n
n
, le plus petit indice est
1
1
1
. Ainsi le nombre de termes est égale à :
n
−
1
+
1
=
n
n-1+1=n
n
−
1
+
1
=
n
. Nous avons donc
n
n
n
termes.
La somme
S
=
u
p
+
u
p
+
1
+
…
+
u
n
S=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n}
S
=
u
p
+
u
p
+
1
+
…
+
u
n
comprend
n
−
p
+
1
n-p+1
n
−
p
+
1
termes. Ici le plus grand indice est
n
n
n
, le plus petit indice est
p
p
p
. Ainsi le nombre de termes est égale à :
n
−
p
+
1
=
n
n-p+1=n
n
−
p
+
1
=
n
. Nous avons donc
n
−
p
+
1
n-p+1
n
−
p
+
1
termes.
La somme
S
=
u
5
+
u
6
+
…
+
u
22
S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22}
S
=
u
5
+
u
6
+
…
+
u
22
comprend
18
18
18
termes. Ici le plus grand indice est
22
22
22
, le plus petit indice est
5
5
5
. Ainsi le nombre de termes est égale à :
22
−
5
+
1
=
18
22-5+1=18
22
−
5
+
1
=
18
. Nous avons donc
18
18
18
termes.