Petits problèmes..

On peut écrire, dans notre cas, que :
$u_{n} =u_{0} +\left(n-0\right)\times r$ équivaut successivement à :
$u_{n} =u_{0} +n\times r$
Ainsi :

$S_{n}=1702$ équivaut successivement à :
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=1702$
Nous avons en tout $n+1$ termes en partant de $u_{0}$ jusqu'à $u_{n}$.
$\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)=1702$
$\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{u_{0}+u_{n}}{2}\right)=1702$
$\left(n+1\right)\times \left(\frac{8+8+6n}{2} \right)=1702$
$\left(n+1\right)\times \left(\frac{16+6n}{2} \right)=1702$ . Nous allons diviser par $2$ l'expression à l'intérieur de la parenthèse.
$\left(n+1\right)\times \left(8+3n\right)=1702$
$8n+3n^{2} +8+3n=1702$
$3n^{2} +11n+8=1702$

$3n^{2} +11n-1694=0$ est un trinôme du second degré. Nous allons donc utiliser le discriminant pour résoudre cette équation.
Calcul du discriminant $\Delta =b^{2} -4ac$
Ainsi : $\Delta =11^{2} -4\times 3\times \left(-1694\right)$
$\Delta =20449$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{1} =\frac{-11-\sqrt{20449} }{2\times 3}$ d'où $n{}_{1} =-\frac{77}{3}$
$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{2} =\frac{-11+\sqrt{20449} }{2\times 3}$ d'où $n{}_{2} =22$
Les racines de l'équation $3n^{2} +11n-1694=0$ sont donc : $S=\left\{-\frac{77}{3};22\right\}$
Cependant, ici nous ne retenons pas la racine $n{}_{1} =-\frac{77}{3}$ car $n$ étant un entier naturel il ne peut pas être négatif.
Il en résulte donc que $S_{n}=1702$ lorsque $n=22$.

Il vient alors que :
$u_{6} =u_{3} \times q^{6-3}$ équivaut successivement à :
$u_{6} =u_{3} \times q^{3}$
$256 =32\times q^{3}$
$\frac{256}{32} =q^{3}$
$q^{3}=8$ alors .
Maintenant, pour calculer la valeur de $u_{0}$, on exprime $u_{n}$ en fonction de $n$. Ainsi :
$u_{n} =u_{p} \times q^{n-p}$ équivaut successivement à :
$u_{3} =u_{0} \times q^{3-0}$
$32 =u_{0} \times 2^{3}$
$u_{0}=\frac{32}{8}$

Il en résulte donc que : $u_{n} =4 \times 2^{n}$

Comme $u_{n} =4 \times 2^{n}$ alors il nous faut résoudre l'équation :
$4 \times 2^{n}=131\;072$ équivaut successivement à :
$2^{n}=\frac{131\;072}{4}$
$2^{n}=\frac{131\;072}{4}$
$2^{n}=32$ $768$
A l'aide de la calculatrice et du tableur, on remarque que : $2^{15}=32$ $768$
Il en résulte donc que $u_{15}=131$ $072$.

$S=4+8+16+\ldots +131\;072$ équivaut successivement à :
$S=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{15}$. Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $2$.
De plus, il y a en tout $16$ termes en partant de $u_{0}$ à $u_{15}$.
On applique la formule :
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{16} }{1-q} \right)$
$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=4 \times \left(\frac{1-2^{16} }{1-2} \right)$

On sait que : $u_{n+1}=2u_{n} -5$ et que $u_{0}=1$.
Il vient alors que :
$u_{0+1}=2u_{0} -5$ d'où : $u_{1}=2\times1 -5$ et donc
$u_{1+1}=2u_{1} -5$ d'où : $u_{2}=2\times\left(-3\right) -5$ et donc

On a :
$u_{1} -u_{0} =-3-1$ ainsi : $u_{1} -u_{0} =-4$
$u_{2} -u_{1} =-11-\left(-3\right)$ ainsi : $u_{2} -u_{1} =-8$
Or
Il en résulte que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas une suite arithmétique.$\frac{u_{1} }{u_{0} }=\frac{-3}{1}=-3$
$\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{-11}{-3}$ ou encore $\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{11}{3}$ ce qui nous donne enfin : $\frac{u_{2} }{u_{1} }=\frac{11}{3}$
Or :
Il en résulte que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas une suite géométrique.