Soit Sn=u0+u1+…+un. On voudrait déterminer n pour que Sn=1702
1
Déterminer un en fonction de n.
Correction
L'expression de un en fonction de n est : un=up+(n−p)×r
On peut écrire, dans notre cas, que : un=u0+(n−0)×r équivaut successivement à : un=u0+n×r Ainsi :
un=8+6n
2
Montrer que Sn=1702 est équivalent à 3n2+11n−1694=0.
Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante : u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(2premier terme+dernier terme)
Sn=1702 équivaut successivement à : u0+u1+…+un=1702 Nous avons en tout n+1 termes en partant de u0 jusqu'à un. (nombres de termes)×(2premier terme+dernier terme)=1702 (nombres de termes)×(2u0+un)=1702 (n+1)×(28+8+6n)=1702 (n+1)×(216+6n)=1702 . Nous allons diviser par 2 l'expression à l'intérieur de la parenthèse. (n+1)×(8+3n)=1702 8n+3n2+8+3n=1702 3n2+11n+8=1702
3n2+11n−1694=0
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1
La somme S=u0+u1+u2+…+un comprend n+1 termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est 0. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1. Nous avons donc n+1 termes.
La somme S=u1+u2+…+un comprend n termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est 1. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=n. Nous avons donc n termes.
La somme S=up+up+1+…+un comprend n−p+1 termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est p. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=n. Nous avons donc n−p+1 termes.
La somme S=u5+u6+…+u22 comprend 18 termes. Ici le plus grand indice est 22 , le plus petit indice est 5. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=18. Nous avons donc 18 termes.
3
Déterminer la valeur de n.
Correction
3n2+11n−1694=0 est un trinôme du second degré. Nous allons donc utiliser le discriminant pour résoudre cette équation. Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=112−4×3×(−1694) Δ=20449 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : n1=2a−b−Δ ainsi n1=2×3−11−20449 d'où n1=−377 n2=2a−b+Δ ainsi n2=2×3−11+20449 d'où n2=22 Les racines de l'équation 3n2+11n−1694=0 sont donc : S={−377;22} Cependant, ici nous ne retenons pas la racine n1=−377 car n étant un entier naturel il ne peut pas être négatif. Il en résulte donc que Sn=1702 lorsque n=22.
Exercice 2
La suite (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. On donne u3=32 et u6=256
1
Déterminer la raison q et le premier terme u0.
Correction
L'expression de un en fonction de n est : un=up×qn−p
Il vient alors que : u6=u3×q6−3 équivaut successivement à : u6=u3×q3 256=32×q3 32256=q3 q3=8 alors
q=2
. Maintenant, pour calculer la valeur de u0, on exprime un en fonction de n. Ainsi : un=up×qn−p équivaut successivement à : u3=u0×q3−0 32=u0×23 u0=832
u0=4
Il en résulte donc que : un=4×2n
2
Déterminer n pour que un=131072.
Correction
Comme un=4×2n alors il nous faut résoudre l'équation : 4×2n=131072 équivaut successivement à : 2n=4131072 2n=4131072 2n=32768 A l'aide de la calculatrice et du tableur, on remarque que : 215=32768 Il en résulte donc que u15=131072.
3
Calculer la somme S=4+8+16+…+131072.
Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante : u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−q1−qnombres de termes)
S=4+8+16+…+131072 équivaut successivement à : S=u0+u1+u2+…+u15. Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2. De plus, il y a en tout 16 termes en partant de u0 à u15. On applique la formule : u0+u1+…+u15=(premier terme)×(1−q1−qnombres de termes) u0+u1+…+u15=u0×(1−q1−q16) u0+u1+…+u15=4×(1−21−216)
u0+u1+…+u15=262140
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1
La somme S=u0+u1+u2+…+un comprend n+1 termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est 0. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1. Nous avons donc n+1 termes.
La somme S=u1+u2+…+un comprend n termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est 1. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=n. Nous avons donc n termes.
La somme S=up+up+1+…+un comprend n−p+1 termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est p. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=n. Nous avons donc n−p+1 termes.
La somme S=u5+u6+…+u22 comprend 18 termes. Ici le plus grand indice est 22 , le plus petit indice est 5. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=18. Nous avons donc 18 termes.
Exercice 3
Soit la suite (un) définie sur N par {u0un+1==12un−5
1
Calculer les trois premiers termes de la suite.
Correction
On sait que : un+1=2un−5 et que u0=1. Il vient alors que : u0+1=2u0−5 d'où : u1=2×1−5 et donc
u1=−3
u1+1=2u1−5 d'où : u2=2×(−3)−5 et donc
u2=−11
2
La suite (un) est-elle arithmétique? Géométrique? Justifier.
Correction
Soit la suite (un) dont nous avons calculé les termes u0 , u1 et u2. Si u1−u0=u2−u1 alors la suite (un) n'est pas une suite arithmétique.
On a : u1−u0=−3−1 ainsi : u1−u0=−4 u2−u1=−11−(−3) ainsi : u2−u1=−8 Or
u1−u0=u2−u1
Il en résulte que la suite (un) n'est pas une suite arithmétique.
Soit la suite (un) dont nous avons calculé les termes u0 , u1 et u2. Si u0u1=u1u2 alors la suite (un) n'est pas une suite géométrique.
u0u1=1−3=−3 u1u2=−3−11 ou encore u1u2=311 ce qui nous donne enfin : u1u2=311 Or :
u0u1=u1u2
Il en résulte que la suite (un) n'est pas une suite géométrique.
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