Petits problèmes.. - Exercice 1

On peut écrire, dans notre cas, que :
$$u_{n} =u_{0} +\left(n-0\right)\times r$$ équivaut successivement à :
$$u_{n} =u_{0} +n\times r$$
Ainsi :

$$S_{n}=1702$$ équivaut successivement à :
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=1702$$
Nous avons en tout $$n+1$$ termes en partant de $$u_{0}$$ jusqu'à $$u_{n}$$.
$$\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)=1702$$
$$\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{u_{0}+u_{n}}{2}\right)=1702$$
$$\left(n+1\right)\times \left(\frac{8+8+6n}{2} \right)=1702$$
$$\left(n+1\right)\times \left(\frac{16+6n}{2} \right)=1702$$ . Nous allons diviser par $$2$$ l'expression à l'intérieur de la parenthèse.
$$\left(n+1\right)\times \left(8+3n\right)=1702$$
$$8n+3n^{2} +8+3n=1702$$
$$3n^{2} +11n+8=1702$$

$$3n^{2} +11n-1694=0$$ est un trinôme du second degré. Nous allons donc utiliser le discriminant pour résoudre cette équation.
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =11^{2} -4\times 3\times \left(-1694\right)$$
$$\Delta =20449$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$n{}_{1} =\frac{-11-\sqrt{20449} }{2\times 3}$$ d'où $$n{}_{1} =-\frac{77}{3}$$
$$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$n{}_{2} =\frac{-11+\sqrt{20449} }{2\times 3}$$ d'où $$n{}_{2} =22$$
Les racines de l'équation $$3n^{2} +11n-1694=0$$ sont donc : $$S=\left\{-\frac{77}{3};22\right\}$$
Cependant, ici nous ne retenons pas la racine $$n{}_{1} =-\frac{77}{3}$$ car $$n$$ étant un entier naturel il ne peut pas être négatif.
Il en résulte donc que $$S_{n}=1702$$ lorsque $$n=22$$.