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Suites arithmétiques et géométriques

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

5 min
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Question 1
S=17++101S=17+\ldots +101 est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique (un)\left(u_{n}\right) . De plus, on admet que S=1711S=1711 .

Calculer le nombre de termes de la somme SS .

Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
On applique la formule :
S=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
1711=(nombres de termes)×(17+1012)1711=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{17+101 }{2} \right)
1711=(nombres de termes)×591711=\left(\text{nombres de termes}\right)\times 59
171159=(nombres de termes)\frac{1711}{59}=\left(\text{nombres de termes}\right)
Ainsi :
29=nombres de termes29=\text{nombres de termes}
Question 2

Déterminer la raison de la suite (un)\left(u_{n}\right) .

Correction
Nous savons que S=17++101S=17+\ldots +101 .
Le premier terme de cette somme est la valeur 1717 . On notera ainsi u1=17u_{1}=17 .
Cette somme comporte 2929 termes.
Le dernier terme de cette somme est la valeur 101101 . On notera ainsi u29=101u_{29}=101 .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=5u_{0} =5.
    Il en résulte donc que :
    un=u1+(n1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r
    u29=u1+(291)×ru_{29} =u_{1} +\left(29-1\right)\times r
    101=17+28×r101 =17 +28\times r
    10117=28×r101 -17 =28\times r
    84=28×r84 =28\times r
    8428=r\frac{84}{28} =r
    Ainsi :
    r=3r=3

    La raison de la suite (un)\left(u_{n}\right) est égale à 33.