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Suites arithmétiques et géométriques
Exercices types :
2
2
2
ème
partie - Exercice 2
6 min
15
Question 1
On considère une suite arithmétique
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
de raison
r
r
r
définie pour tout entier naturel
n
n
n
telle que :
u
10
=
53
u_{10}=53
u
10
=
53
et
u
22
=
113
u_{22}=113
u
22
=
113
.
Calculer la raison de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
.
Correction
L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
On peut écrire, dans notre cas, que :
u
22
=
u
10
+
(
22
−
10
)
×
r
u_{22} =u_{10} +\left(22-10\right)\times r
u
22
=
u
10
+
(
22
−
10
)
×
r
équivaut successivement à :
u
22
=
u
10
+
12
×
r
u_{22} =u_{10} +12\times r
u
22
=
u
10
+
12
×
r
113
=
53
+
12
×
r
113=53+12\times r
113
=
53
+
12
×
r
113
−
53
=
12
r
113-53=12r
113
−
53
=
12
r
60
=
12
r
60=12r
60
=
12
r
60
12
=
r
\frac{60}{12} =r
12
60
=
r
r
=
5
r=5
r
=
5
La raison de la suite arithmétique
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
vaut
5
5
5
.
Question 2
Calculer
u
0
u_{0}
u
0
.
Correction
Maintenant, pour calculer la valeur de
u
0
u_{0}
u
0
, on exprime
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
. Ainsi :
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
u_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
×
r
équivaut successivement à :
u
10
=
u
0
+
(
10
−
0
)
×
r
u_{10} =u_{0} +\left(10-0\right)\times r
u
10
=
u
0
+
(
10
−
0
)
×
r
u
10
=
u
0
+
10
r
u_{10} =u_{0} +10r
u
10
=
u
0
+
10
r
53
=
u
0
+
10
×
5
53=u_{0} +10\times 5
53
=
u
0
+
10
×
5
53
=
u
0
+
50
53=u_{0} +50
53
=
u
0
+
50
53
−
50
=
u
0
53-50=u_{0}
53
−
50
=
u
0
u
0
=
3
u_{0}=3
u
0
=
3