Suites arithmétiques et géométriques

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

10 min
15
Question 1
Dans le cadre d'une étude économique, une hypothèse retenue est qu'entre 20172017 et 20252025 le montant mensuel brut du SMIC augmente de 1%1\% par an. Ce montant mensuel est modélisé par une suite géométrique (Un)(U_n) de premier terme U0=1480,27U_0 = 1480,27.
L’entier nn désigne le rang de l’année (2017+n)(2017+n).

Donner la relation de récurrence entre Un+1U_{n+1} et UnU_n en fonction de nn.

Correction
Chaque année l'augmentation du SMIC est de 11% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+1100=1,011+\frac{1}{100}=1,01
Ainsi, pour tout entier naturel nn, on a :
Un+1=Un×1,01U_{n+1}=U_{n}\times 1,01
.
La suite (Un)\left(U_{n} \right) est alors une suite géométrique de raison q=1,01q=1,01 et de premier terme U0=1480,27U_0 = 1480,27.
Question 2

Avec ce modèle déterminer une estimation du montant mensuel brut du SMIC en 20222022.

Correction
Pour répondre à cette question, il faut utiliser pour gagner du temps l'expression de UnU_{n} en fonction de nn car sinon il va nous falloir calculer toutes les valeurs de U1U_{1} jusqu'à U5U_{5} .
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut U0=1480,27U_0 = 1480,27.
    Il en résulte donc que :
    Un=1480,27×1,01nU_{n} =1480,27\times 1,01^{n}

    On remarque que : 2022=2017+52022=2017+5 . Il en résulte donc que l'année 20222022 correspond au rang 55.
    Ainsi :
    U5=1480,27×1,015U_{5} =1480,27\times 1,01^{5}
    U5≈1555,78U_{5} \approx 1555,78

    Avec ce modèle une estimation du montant mensuel brut du SMIC en 20222022 serait de 1555,781555,78 euros.

    Question 3
    On considère l’algorithme ci-dessous :

    Que contiennent les variables NN et UU après exécution de cet algorithme ? A quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l’exercice ?

    Correction
    Cet algorithme permet de savoir à partir quelle année, le SMIC sera supérieur ou égal à 16001600 euros.
    Lorsque l'on utilise la calculatrice, on obtient : N=8N=8
    En effet, nous allons donner ci-dessous toutes les étapes permettant d'arriver à ce résultat, à l'aide du tableau ci-dessous :
    En fait, nous calculons toutes les valeurs de UnU_{n} et il faut s'arrêter lorsque nous dépassons 16001600 .
    Cela arrive, pour n=8n=8.
    Ainsi : 2017+8=20252017+8=2025
    C'est en 20252025 que le SMIC dépassera 16001600 euros .