Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

On considère trois termes consécutifs $$u_{0}$$, $$u_{1}$$ et $$u_{2}$$ d'une suite arithmétique de raison $$r$$.
Les hypothèses de l’énoncé donne : et .
Par ailleurs, on sait que $$u_{0}=u_{1}-r$$ et $$u_{2}=u_{1}+r$$.
Nos deux conditions nous ramène au système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{0}+u_{1}+u_{2}} & {=} & {78} \\ {u_{0}\times u_{1} \times u_{2}} & {=} & {17160} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}-r+u_{1}+u_{1}+r} & {=} & {78} \\ {\left(u_{1}-r\right)\times u_{1} \times \left(u_{1}+r\right)} & {=} & {17160} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {3u_{1}} & {=} & {78} \\ {\left(u_{1}-r\right)\times u_{1} \times \left(u_{1}+r\right)} & {=} & {17160} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {\left(26-r\right)\times 26 \times \left(26+r\right)} & {=} & {17160} \end{array}\right.$$ On divise la dernière ligne par $$26$$, on obtient alors :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {\left(26-r\right)\times \left(26+r\right)} & {=} & {660} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {26^{2}+26r-26r-r^{2}} & {=} & {660} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {676-r^{2}} & {=} & {660} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {-r^{2}} & {=} & {-16} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {676-r^{2}} & {=} & {660} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {r^{2}} & {=} & {16} \end{array}\right.$$
D'après l'énoncé, la raison doit être positive. il en résulte donc que $$r=4$$.
Les trois termes consécutifs de cette suite arithmétique sont alors : $$u_{0}=22$$, $$u_{1}=26$$ et $$u_{2}=30$$.
Remarque : on pouvait aussi travailler à partir de $$u_{0}$$ au lieu de $$u_{1}$$ mais les calculs auraient été plus lourds..