Exercices types : $1$^ère partie

On a :
$M_{1}=1400+65$ ainsi
$M_{2}=1465+65$ ainsi

Soit $n$ un entier naturel.
On a : . La suite $\left(M_{n} \right)$ est alors une suite arithmétique de raison $r=65$ et de premier terme $M_{0}=1400$.

D'après le cours , on sait que :
$M_{n} =M_{0} +n\times r$ ce qui nous donne donc : .

Comme $M_{n} =1400+65n$ alors $M_{15} =1400+65\times 15$
Ainsi : .

Nous voulons savoir quand $M_{n}\ge 2500$. L'inéquation s'écrit également : $1400+65n\ge 2500$.
$1400+65n\ge 2500$ équivaut succesivement à :
$65n\ge 2500-1400$
$65n\ge 1100$
$n\ge \frac{1100}{65}$ . or $\frac{1100}{65}\approx16,92$, on prend donc l'entier naturel supérieur à cette écriture décimale. Il vient alors que :
$n\ge 17$
Après $17$ années dans l'entreprise Lina aura un salaire d'au moins $2500$ euros.

On a :
$J_{1}=1400+1400\times \frac{3,5}{100}$ d'où
$J_{2}=1449+1449\times \frac{3,5}{100}$ d'où

Chaque année l'augmentation est de $3,5$% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur $1+\frac{3,5}{100}=1,035$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
. La suite $\left(J_{n} \right)$ est alors une suite géométrique de raison $q=1,035$ et de premier terme $J_{0}=1400$.

D'après le cours , on sait que :
$J_{n} =J_{0} \times q^{n}$ ce qui nous donne donc :

Comme $J_{n} =1400\times 1,035^{n}$ alors $J_{15} =1400\times 1,035^{15}$
Ainsi : .

Nous voulons savoir quand $J_{n}\ge 2500$. l'inéquation s'écrit également : $1400\times 1,035^{n}\ge 2500$
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression $1400\times 1,035^{n}$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à $2500$.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $n=16$ nous obtenons $2427$
• lorsque $n=17$ nous obtenons $2512$

Après $17$ années dans l'entreprise Adam aura un salaire d'au moins $2500$ euros.

Nous allons reprendre le même raisonnement que la question précédente. Nous allons entrer les expressions $1400\times 1,035^{n}$ et $1400+65n$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $n=16$ Lina aura un salaire de $2440$ euros et Adam un salaire de $2427$
• lorsque $n=17$ Lina aura un salaire de $2505$ euros et Adam un salaire de $2512$

Après $17$ années dans l'entreprise Adam aura un salaire supérieur à celui de Lina.

On considère trois termes consécutifs $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$ d'une suite arithmétique de raison $r$.
Les hypothèses de l’énoncé donne : et .
Par ailleurs, on sait que $u_{0}=u_{1}-r$ et $u_{2}=u_{1}+r$.
Nos deux conditions nous ramène au système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{0}+u_{1}+u_{2}} & {=} & {78} \\ {u_{0}\times u_{1} \times u_{2}} & {=} & {17160} \end{array}\right.$
Il en résulte donc que :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}-r+u_{1}+u_{1}+r} & {=} & {78} \\ {\left(u_{1}-r\right)\times u_{1} \times \left(u_{1}+r\right)} & {=} & {17160} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {3u_{1}} & {=} & {78} \\ {\left(u_{1}-r\right)\times u_{1} \times \left(u_{1}+r\right)} & {=} & {17160} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {\left(26-r\right)\times 26 \times \left(26+r\right)} & {=} & {17160} \end{array}\right.$ On divise la dernière ligne par $26$, on obtient alors :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {\left(26-r\right)\times \left(26+r\right)} & {=} & {660} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {26^{2}+26r-26r-r^{2}} & {=} & {660} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {676-r^{2}} & {=} & {660} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {-r^{2}} & {=} & {-16} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {676-r^{2}} & {=} & {660} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {u_{1}} & {=} & {26} \\ {r^{2}} & {=} & {16} \end{array}\right.$
D'après l'énoncé, la raison doit être positive. il en résulte donc que $r=4$.
Les trois termes consécutifs de cette suite arithmétique sont alors : $u_{0}=22$, $u_{1}=26$ et $u_{2}=30$.
Remarque : on pouvait aussi travailler à partir de $u_{0}$ au lieu de $u_{1}$ mais les calculs auraient été plus lourds..