Lina est embauchée dans l'entreprise avec un salaire de 1400 euros. Elle choisit d'être augmentée suivant l'option A. On note Mn son salaire après n années dans l'entreprise. On a : M0=1400.
1
Calculer M1 et M2.
Correction
On a : M1=1400+65 ainsi
M1=1465
M2=1465+65 ainsi
M2=1530
2
Exprimer Mn+1 en fonction de Mn. En déduire la nature de la suite (Mn).
Correction
Soit n un entier naturel. On a :
Mn+1=Mn+65
. La suite (Mn) est alors une suite arithmétique de raison r=65 et de premier terme M0=1400.
3
Exprimer Mn en fonction de n.
Correction
Soit (un) une suite arithmétique. L'expression de un en fonction de n est :
un=u0+n×r : lorsque le premier terme vaut u0 .
un=u1+(n−1)×r : lorsque le premier terme vaut u1 .
un=up+(n−p)×r : formule avec un premier terme up quelconque .
D'après le cours , on sait que : Mn=M0+n×r ce qui nous donne donc :
Mn=1400+65n
.
4
Calculer M15
Correction
Comme Mn=1400+65n alors M15=1400+65×15 Ainsi :
M15=2375
.
5
A partir de combien d'années son salaire sera t-il au moins 2500 euros? Une résolution algébrique est bien entendue demandée.
Correction
Nous voulons savoir quand Mn≥2500. L'inéquation s'écrit également : 1400+65n≥2500. 1400+65n≥2500 équivaut succesivement à : 65n≥2500−1400 65n≥1100 n≥651100 . or 651100≈16,92, on prend donc l'entier naturel supérieur à cette écriture décimale. Il vient alors que : n≥17 Après 17 années dans l'entreprise Lina aura un salaire d'au moins 2500 euros.
Option B : une augmentation de 3,5% du salaire mensuel de l'année précédente au 1er janvier de chaque année. Adam est embauché dans l'entreprise avec un salaire de 1400 euros. Il choisit d'être augmenté suivant l'option B. On note Jn son salaire après n années dans l'entreprise. On a : J0=1400.
6
Calculer J1 et J2. Arrondir à l'euros près si besoin.
Correction
On a : J1=1400+1400×1003,5 d'où
J1=1449
J2=1449+1449×1003,5 d'où
J2=1500
7
Exprimer Jn+1 en fonction de Jn. En déduire la nature de la suite (Jn).
Correction
Chaque année l'augmentation est de 3,5% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+1003,5=1,035 Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
Jn+1=Jn×1,035
. La suite (Jn) est alors une suite géométrique de raison q=1,035 et de premier terme J0=1400.
8
Exprimer Jn en fonction de n.
Correction
Soit (un) une suite géométrique. L'expression de un en fonction de n est :
un=u0×qn : lorsque le premier terme vaut u0 .
un=u1×qn−1 : lorsque le premier terme vaut u1 .
un=up×qn−p: formule avec un premier terme up quelconque .
D'après le cours , on sait que : Jn=J0×qn ce qui nous donne donc :
Jn=1400×1,035n
9
Calculer J15 . Arrondir à l'euros près.
Correction
Comme Jn=1400×1,035n alors J15=1400×1,03515 Ainsi :
J15=2345
.
10
A partir de combien d'années son salaire sera t-il au moins 2500 euros? L'aide de la calculatrice ici est la bienvenue.
Correction
Nous voulons savoir quand Jn≥2500. l'inéquation s'écrit également : 1400×1,035n≥2500 Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression 1400×1,035n et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à 2500. Nous avons les données suivantes :
lorsque n=16 nous obtenons 2427
lorsque n=17 nous obtenons 2512
Après 17 années dans l'entreprise Adam aura un salaire d'au moins 2500 euros.
11
A partir de combien d'années dans l'entreprise, le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.
Correction
Nous allons reprendre le même raisonnement que la question précédente. Nous allons entrer les expressions 1400×1,035n et 1400+65n et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina. Nous avons les données suivantes :
lorsque n=16 Lina aura un salaire de 2440 euros et Adam un salaire de 2427
lorsque n=17 Lina aura un salaire de 2505 euros et Adam un salaire de 2512
Après 17 années dans l'entreprise Adam aura un salaire supérieur à celui de Lina.
Exercice 2
1
Déterminer trois termes consécutifs d’une suite arithmétique tels que leur somme soit égale à 78, leur produit soit égal à 17160 et la raison soit positive.
Correction
On considère trois termes consécutifs u0, u1 et u2 d'une suite arithmétique de raison r. Les hypothèses de l’énoncé donne :
u0+u1+u2=78
et
u0×u1×u2=17160
. Par ailleurs, on sait que u0=u1−r et u2=u1+r. Nos deux conditions nous ramène au système suivant : {u0+u1+u2u0×u1×u2==7817160 Il en résulte donc que : {u1−r+u1+u1+r(u1−r)×u1×(u1+r)==7817160 {3u1(u1−r)×u1×(u1+r)==7817160 {u1(26−r)×26×(26+r)==2617160 On divise la dernière ligne par 26, on obtient alors : {u1(26−r)×(26+r)==26660 {u1262+26r−26r−r2==26660 {u1676−r2==26660 {u1−r2==26−16 {u1676−r2==26660 {u1r2==2616 D'après l'énoncé, la raison doit être positive. il en résulte donc que r=4. Les trois termes consécutifs de cette suite arithmétique sont alors : u0=22, u1=26 et u2=30. Remarque : on pouvait aussi travailler à partir de u0 au lieu de u1 mais les calculs auraient été plus lourds..
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