Ce qu'il faut savoir sur les suites géométriques

Les suites géométriques.

Définition

Définition 1
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite geˊomeˊtrique\red{\text{géométrique}} s'il existe un réel q{\color{blue}{q}} tel que pour tout entier naturel nn, on a :
    un+1=un×qu_{n+1} =u_{n} \times{\color{blue}{q}} où q{\color{blue}{q}} est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite geˊomeˊtrique\red{\text{géométrique}}.
Définition 2
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n} \times{\color{blue}{q}} où q{\color{blue}{q}} est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite geˊomeˊtrique\red{\text{géométrique}}.
  • Il faut également connaitre le premier terme\red{\text{le premier terme}} de la suite (un)\left(u_{n} \right) que l'on peut noter, par exemple, u0u_{0} .
Chaque terme d'une suite géométrique se déduit donc du précédent en multipliant par la raison qq .
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique définie par le premier terme u0=4u_{0}=4 et de raison 22 . Calculer u1u_{1}, u2u_{2} et u3u_{3}.
L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×2u_{n+1} =u_{n}\times2 .
Ainsi :
u1=u0×2⇔u1=4×2⇔u1=8u_{1} =u_{0}\times2\Leftrightarrow u_{1} =4\times2\Leftrightarrow u_{1} =8
u2=u1×2⇔u2=8×2⇔u2=16u_{2} =u_{1}\times2\Leftrightarrow u_{2} =8\times2\Leftrightarrow u_{2} =16
u3=u2×2⇔u3=16×2⇔u3=32u_{3} =u_{2}\times2\Leftrightarrow u_{3} =16\times2\Leftrightarrow u_{3} =32

L'expression de un\blue{u_{n}} en fonction de n\blue{n} ou encore l'expression du terme général en fonction de n\blue{n}.

Définition 3
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique définie par le premier terme u0=164u_{0}=\frac{1}{64} et de raison 22 . Calculer u6u_{6} .
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} ainsi un=164×2nu_{n} =\frac{1}{64}\times 2^{n} .
Finalement : u6=164×26⇔u6=1u_{6} =\frac{1}{64}\times 2^{6} \Leftrightarrow u_{6} =1

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Définition 4
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant :
    grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Définition 5
      La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
      u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite géométrique définie par le premier terme u0=2u_{0}=2 et de raison 33 .
    Calculer S=u0+u1+…+u7S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{7} .
    D'après la définition 55, nous pouvons écrire que :
    S=2×(1−381−3)S=2\times \left(\frac{1-3^{8} }{1-3} \right)
    S=6560S=6560

    Sens de variation d'une suite géométrique.

    Définition 6
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
    • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante\red{\text{croissante}}.
    • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est deˊcroissante\red{\text{décroissante}}.
    • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante\red{\text{croissante}}.
    • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est deˊcroissante\red{\text{décroissante}}.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante\red{\text{constante}} égale à u0u_{0}.

    Comportement d'une suite géométrique en l'infini.

    Définition 7
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
    • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite convergente\red{\text{convergente}}.
    • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite convergente\red{\text{convergente}}.
    • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite divergente\red{\text{divergente}} dont la limite est +∞+\infty .
    • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite divergente\red{\text{divergente}} dont la limite est −∞-\infty .

    Comment reconnaitre une suite géométrique ?

    Définition 8
      Soit (un)\left(u_n\right) une suite de termes non nul.
      Si, pour tout entier naturel nn, un+1un=q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =q où qq est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique.
      Dans ce cas, le réel qq sera la raison de la suite géométrique.
      Autrement dit, la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique si et seulement si le rapport entre deux termes consécutifs quelconques est constant.
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} La suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=4n+2u_n=4^{n+2} est-elle géométrique?
    Comme un=4n+2u_n=4^{n+2} alors un+1=4n+1+2⇔un+1=4n+3u_{n+1}=4^{n+1+2}\Leftrightarrow u_{n+1}=4^{n+3}
    Ainsi :
    un+1un=4n+34n+2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{4^{n+3} }{4^{n+2} }
    un+1un=4n+3−(n+2)\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =4^{n+3-\left(n+2\right)}
    un+1un=4n+3−n−2\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =4^{n+3-n-2}
    un+1un=4\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =4

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison 44 et de premier terme u0=42=16u_0 =4^{2}=16.