Les suites géométriques.
Définition
Définition 1- Une suite (un) est une suite geˊomeˊtrique s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, on a :
un+1=un×q où q est la raison de la suite geˊomeˊtrique.
Définition 2Soit (un) une suite géométrique.
- L'expression de un+1 en fonction de un est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×q où q est la raison de la suite geˊomeˊtrique.
- Il faut également connaitre le premier terme de la suite (un) que l'on peut noter, par exemple, u0 .
Chaque terme d'une suite géométrique se déduit donc du précédent en multipliant par la raison
q .
Exemple : Soit
(un) une suite géométrique définie par le premier terme
u0=4 et de raison
2 . Calculer
u1,
u2 et
u3.
L'expression de
un+1 en fonction de
un est donnée par la relation de récurrence :
un+1=un×2 .
Ainsi :
u1=u0×2⇔u1=4×2⇔u1=8 u2=u1×2⇔u2=8×2⇔u2=16 u3=u2×2⇔u3=16×2⇔u3=32 L'expression de un en fonction de n ou encore l'expression du terme général en fonction de n.
Définition 3Soit (un) une suite géométrique. L'expression de un en fonction de n est :
- un=u0×qn : lorsque le premier terme vaut u0 .
- un=u1×qn−1 : lorsque le premier terme vaut u1 .
- un=up×qn−p: formule avec un premier terme up quelconque .
Exemple : Soit
(un) une suite géométrique définie par le premier terme
u0=641 et de raison
2 . Calculer
u6 .
L'expression de
un en fonction de
n est :
un=u0×qn ainsi
un=641×2n .
Finalement :
u6=641×26⇔u6=1 La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
Définition 4Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant :
grand indice−petit indice+1
Exemples :La somme S=u0+u1+u2+…+un comprend n+1 termes. Ici le plus grand indice est n , le plus petit indice est 0. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1. Nous avons donc n+1 termes.La somme S=u5+u6+…+u22 comprend 18 termes. Ici le plus grand indice est 22 , le plus petit indice est 5. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=18. Nous avons donc 18 termes. Définition 5La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−q1−qnombres de termes)
Exemple : Soit
(un) la suite géométrique définie par le premier terme
u0=2 et de raison
3 .
Calculer
S=u0+u1+…+u7 .
D'après la définition
5, nous pouvons écrire que :
S=2×(1−31−38) Sens de variation d'une suite géométrique.
Définition 6Soit une suite
(un) géométrique de raison
q et de premier terme
u0 alors :
- Si 0<q<1 et u0<0 alors la suite (un) est croissante.
- Si 0<q<1 et u0>0 alors la suite (un) est deˊcroissante.
- Si q>1 et u0>0 alors la suite (un) est croissante.
- Si q>1 et u0<0 alors la suite (un) est deˊcroissante.
- Si q=1 alors la suite (un) est constante égale à u0.
Comportement d'une suite géométrique en l'infini.
Définition 7Soit une suite
(un) géométrique de raison
q et de premier terme
u0 alors :
- Si 0<q<1 et u0<0 alors la suite (un) est une suite convergente.
- Si 0<q<1 et u0>0 alors la suite (un) est une suite convergente.
- Si q>1 et u0>0 alors la suite (un) est une suite divergente dont la limite est +∞ .
- Si q>1 et u0<0 alors la suite (un) est une suite divergente dont la limite est −∞ .
Comment reconnaitre une suite géométrique ?
Définition 8Soit (un) une suite de termes non nul.
Si, pour tout entier naturel n, unun+1=q où q est un réel, alors la suite (un) est géométrique.
Dans ce cas, le réel q sera la raison de la suite géométrique.
Autrement dit, la suite (un) est géométrique si et seulement si le rapport entre deux termes consécutifs quelconques est constant.
Exemple : La suite
(un) définie par
un=4n+2 est-elle géométrique?
Comme
un=4n+2 alors
un+1=4n+1+2⇔un+1=4n+3 Ainsi :
unun+1=4n+24n+3 unun+1=4n+3−(n+2) unun+1=4n+3−n−2 unun+1=4 La suite
(un) est une suite géométrique de raison
4 et de premier terme
u0=42=16.