Suites arithmétiques et géométriques

Ce qu'il faut savoir sur les suites arithmétiques

Les suites arithmétiques.

Définition

Définition 1
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmeˊtique\red{\text{arithmétique}} s'il existe un réel r{\color{blue}{r}} tel que pour tout entier naturel nn, on a :
    un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +{\color{blue}{r}}r{\color{blue}{r}} est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmeˊtique\red{\text{arithmétique}}.
Définition 2
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +{\color{blue}{r}}r{\color{blue}{r}} est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmeˊtique\red{\text{arithmétique}}.
  • Il faut également connaitre le premier terme\red{\text{le premier terme}} de la suite (un)\left(u_{n} \right) que l'on peut noter, par exemple, u0u_{0} .
Chaque terme d'une suite arithmétique se déduit donc du précèdent en rajoutant la raison rr .
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique définie par le premier terme u0=3u_{0}=3 et de raison 55 . Calculer u1u_{1}, u2u_{2} et u3u_{3}.
L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+5u_{n+1} =u_{n} +5 .
Ainsi :
u1=u0+5u1=3+5u1=8u_{1} =u_{0} +5\Leftrightarrow u_{1} =3+5\Leftrightarrow u_{1} =8
u2=u1+5u2=8+5u2=13u_{2} =u_{1} +5\Leftrightarrow u_{2} =8+5\Leftrightarrow u_{2} =13
u3=u2+5u3=13+5u3=18u_{3} =u_{2} +5\Leftrightarrow u_{3} =13+5\Leftrightarrow u_{3} =18

L'expression de un\blue{u_{n}} en fonction de n\blue{n} ou encore l'expression du terme général en fonction de n\blue{n}.

Définition 3
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up+(np)×ru_{n} =u_{p} +\left(n-p\right)\times r : formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique définie par le premier terme u0=3u_{0}=3 et de raison 55 . Calculer u7u_{7} .
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r ainsi un=3+n×5u_{n} =3 +n\times 5 que l'on écrit un=3+5nu_{n} =3 +5n .
Finalement : u7=3+5×7u7=3+35u7=38u_{7} =3 +5\times7 \Leftrightarrow u_{7} =3 +35 \Leftrightarrow u_{7} =38

La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Définition 4
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant :
    grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
Exemples :\pink{\text{Exemples :}}
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Définition 5
      La somme des termes d'une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) est donnée par la formule suivante :
      u0+u1++un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite arithmétique définie par le premier terme u0=2u_{0}=2 et de raison 77 .
    Calculer S=u0+u1++u6S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{6} .
    D'après la définition 55, nous pouvons écrire que :
    S=7×(u0+u62)S=7\times \left(\frac{u_{0} +u_{6} }{2} \right) . Il nous faut aussi calculer u6u_{6}.
    Or, l'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=2+7nu_{n}=2+7n ce qui donne u6=2+7×6=44u_{6}=2+7\times6=44
    Il vient alors que :
    S=7×(2+442)S=161S=7\times \left(\frac{2+44 }{2} \right)\Leftrightarrow S=161

    Sens de variation d'une suite arithmétique.

    Définition 6
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
    • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
    • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante.
    • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante.

    Comportement d'une suite arithmétique en l'infini.

    Définition 7
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) arithmétique de raison rr alors :
    • Si r<0r<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite divergente\red{\text{divergente}} dont la limite est -\infty .
    • Si r>0r>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite divergente\red{\text{divergente}} dont la limite est ++\infty .
    • Si r=0r=0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente\red{\text{convergente}} dont la limite est le premier terme de la suite.

    Comment reconnaitre une suite arithmétique ?

    Définition 8
      Si, pour tout entier naturel nn, un+1un=ru_{n+1} -u_{n} =rrr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
      Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
      Autrement dit, la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante.
    Exemple :\pink{\text{Exemple :}} La suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=3n9u_n=3n-9 est-elle arithmétique?
    Comme un=3n9u_n=3n-9 alors un+1=3(n+1)9un+1=3n6u_{n+1}=3\left(n+1\right)-9\Leftrightarrow u_{n+1}=3n-6
    Ainsi :
    un+1un=3n6(3n9)u_{n+1} -u_{n} =3n-6-\left(3n-9\right)
    un+1un=3n63n+9u_{n+1} -u_{n} =3n-6-3n+9
    un+1un=3u_{n+1} -u_{n} =3

    La suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison 33 et de premier terme u0=9u_0 = -9.
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