Suites arithmétiques et géométriques

Calculer la somme des termes d'une suite géométrique - Exercice 1

12 min
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Question 1

Soit une suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) de raison q=3q=3 et de u0=2u_{0} =2. Calculer : S=u0+u1+…+u8S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8} .

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=3q=3 et de u0=2u_{0} =2.
De plus, il y a en tout 99 termes en partant de u0 u_{0} à u8 u_{8}.
On applique la formule :
u0+u1+…+u8=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
u0+u1+…+u8=u0×(1−q91−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{9} }{1-q} \right)
u0+u1+…+u8=2×(1−391−3)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=2 \times \left(\frac{1-3^{9} }{1-3} \right)
u0+u1+…+u8=19  682u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{8}=19\;682
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 2

    Soit une suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) de raison q=−2q=-2 et de u7=1100u_{7} =\frac{1}{100}. Calculer : S=u7+u8+…+u22S=u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=−2q=-2 et de u0=1100u_{0} =\frac{1}{100}.
    De plus, il y a en tout 1616 termes en partant de u7 u_{7} à u22 u_{22}.
    On applique la formule :
    u7+u8+…+u22=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    u7+u8+…+u22=u7×(1−q161−q)u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=u_{7} \times \left(\frac{1-q^{16} }{1-q} \right)
    u7+u8+…+u22=1100×(1−(−2)161−(−2))u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=\frac{1}{100} \times \left(\frac{1-\left(-2\right)^{16} }{1-\left(-2\right)} \right)
    u7+u8+…+u22=−436920u_{7} +u_{8} +\ldots +u_{22}=-\frac{4369}{20}
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 3

    S=1+4+42+43+…+49S=1+4 +4^{2}+4^{3} +\ldots +4^{9}

    Correction
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=4q=4
    Il vient alors :
    S=1+4+42+43+…+49S=1+4 +4^{2}+4^{3} +\ldots +4^{9}
    S=40+41+42+43+…+49S=4^{0}+4^{1} +4^{2}+4^{3} +\ldots +4^{9} car 40=14^{0}=1
    Nous partons de 404^{0} qui est le premier terme à 494^{9} . Nous avons donc 1010 termes.
    On applique la formule :
    S=1×1−4101−4S=1\times \frac{1-4^{10}}{1-4 }
    S=349S=349 525525
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Question 4

    S=1−5+(−5)2+(−5)3+…+(−5)7S=1-5+\left(-5\right)^{2}+\left(-5\right)^{3} +\ldots +\left(-5\right)^{7}

    Correction
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=−5q=-5
    Il vient alors :
    S=1−5+(−5)2+(−5)3+…+(−5)7S=1-5+\left(-5\right)^{2}+\left(-5\right)^{3} +\ldots +\left(-5\right)^{7}
    S=(−5)0+(−5)1+(−5)2+(−5)3+…+(−5)7S=\left(-5\right)^{0}+\left(-5\right)^{1}+\left(-5\right)^{2}+\left(-5\right)^{3} +\ldots +\left(-5\right)^{7} car (−5)0=1\left(-5\right)^{0}=1
    Nous partons de (−5)0\left(-5\right)^{0} qui est le premier terme à (−5)7\left(-5\right)^{7} . Nous avons donc 88 termes.
    On applique la formule :
    S=1×1−(−5)81−(−5)S=1\times \frac{1-\left(-5\right)^{8}}{1-\left(-5\right) }
    S=−65S=-65 104104
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.