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Exercices types - Exercice 4

10 min
20
Une classe de 2020 élèves participe à un concours régional de Scrabble qualificatif pour les championnats de France. On note le nombre de points pour chaque élève à la fin de trois parties.
On obtient les résultats suivants :
301301 ; 310310 ; 315315 ; 309309 ; 311311 ; 317317 ; 308308 ; 309309 ; 311311 ; 312312 ; 309309 ; 318318 ; 307307 ; 308308 ; 303303 ; 310310 ; 314314 ; 313313 ; 310310 ; 320320 .
Question 1
Pour se qualifier au championnat de France, il faut que :
  • la moyenne x‾\overline{x} soit de 310310 points à 11 point.
  • l'écart type σ\sigma soit inférieur à 55.
  • minimum 80%80\% des élèves soient sur l'intervalle [x‾−σ;x‾+σ]\left[\overline{x}-\sigma;\overline{x}+\sigma\right]

    • Cette classe se qualifiera-t-elle pour les championnats de France de Scrabble?

    Correction
    Dans un premier temps, nous allons faire un tableau avec les nombres de points et les effectifs associés pour nous faciliter les calculs.
    Calcul de la moyenne :
      La formule de la moyenne xˉ\bar{x} est donnée ci-dessous :
    • x‾=∑ni×xiN\overline{x}=\frac{\sum n_{i} \times x_{i} }{N}
    Il vient alors que :
    x‾=301×1+303×1+307×1+308×2+⋯+320×120\overline{x}=\frac{301\times 1+303\times 1+307\times 1+308\times 2+\cdots +320\times 1}{20}
    x‾=310,75\overline{x}=310,75
    . La 11ère condition est vérifiée.
    Calcul de l'écart-type :
      La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculer la variance VV . Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
    • V=∑ni×(xi−x‾)2NV=\frac{\sum n_{i} \times \left(x_{i} -\overline{x}\right)^{2} }{N}
    • σ=V\sigma =\sqrt{V}

    Commençons par calculer la variance :
    V=(301−310,75)2×1+(303−310,75)2×1+(307−310,75)2×1+…+(320−310,75)2×120V=\frac{\left(301-310,75\right)^{2} \times 1+\left(303-310,75\right)^{2} \times 1+\left(307-310,75\right)^{2} \times 1+\ldots +\left(320-310,75\right)^{2} \times 1}{20}
    V=20,3875V=20,3875

    Maintenant , nous allons pouvoir calculer l'écart type :
    σ=5,7104\sigma =\sqrt{5,7104} ainsi :
    σ≈4,515\sigma \approx4,515
    La 22ème condition est vérifiée.
  • Maintenant, calculons l'intervalle : [x‾−σ;x‾+σ]\left[\overline{x}-\sigma;\overline{x}+\sigma\right]
    • Il vient : [310,75−4,515;310,75+4,515]\left[310,75-4,515;310,75+4,515\right] d'où : [306,235;315,265]\left[306,235;315,265\right]
    Or, nous avons 1515 élèves qui appartiennent à l'intervalle [306,235;315,265]\left[306,235;315,265\right]. La population totale est de 2020 élèves.
    Nous avons donc : 15×10020=75%\frac{15\times 100}{20} =75\% qui appartiennent à l'intervalle [306,235;315,265]\left[306,235;315,265\right].
    Cette classe ne respecte pas la 33ème condition. Elle ne pourra pas donc pas participer au championnat de France.