Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  →

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Exercices types - Exercice 1

25 min
45
Un élève effectue son stage d'observation avec un agent de la répression des fraudes. Une première visite d'inspection est réalisée dans une boulangerie industrielle où la masse de la baguette est de 250250 grammes.
Question 1
L'agent de la répression des fraudes a prélevé au hasard 5050 baguettes, a relevé leur masse et a obtenu les résultats suivants :
L'élève indique à son maitre de stage qu'il sait faire une étude statistique et lui propose son aide.

L'élève calcule la masse moyenne xˉ\bar{x} d'une baguette sur l'échantillon prélevé par l'agent. Combien trouve t-il? Détaillez les calculs.

Correction
    La formule de la moyenne xˉ\bar{x} est donnée ci-dessous :
  • x‾=∑ni×xiN\overline{x}=\frac{\sum n_{i} \times x_{i} }{N}
Il vient alors que :
x‾=245×5+246×9+247×7+248×8+249×5+250×6+251×3+252×3+253×450\overline{x}=\frac{245\times 5+246\times 9+247\times 7+248\times 8+249\times 5+250\times 6+251\times 3+252\times 3+253\times 4}{50}
x‾=620950\overline{x}=\frac{6209}{50}
x‾=248,36\overline{x}=248,36

Question 2

L'élève calcule l'écart-type σ\sigma de cette série des masses des baguettes. Combien trouve t-il? Présenter le calcul réalisé et l'arrondir à 10−210^{-2}.

Correction
    La formule de l'écart type σ\sigma est obtenue après avoir calculer la variance VV . Les formules de la variance et de l'écart type sont données ci-dessous :
  • V=∑ni×(xi−x‾)2NV=\frac{\sum n_{i} \times \left(x_{i} -\overline{x}\right)^{2} }{N}
  • σ=V\sigma =\sqrt{V}

Commençons par calculer la variance :
V=(245−248,36)2×5+(246−248,36)2×9+(247−248,36)2×7+(248−248,36)2×8+(249−248,36)2×5+…+(253−248,36)2×550V=\frac{\left(245-248,36\right)^{2} \times 5+\left(246-248,36\right)^{2} \times 9+\left(247-248,36\right)^{2} \times 7+\left(248-248,36\right)^{2} \times 8+\left(249-248,36\right)^{2} \times 5+\ldots +\left(253-248,36\right)^{2} \times 5}{50}
V=5,7104V=5,7104

Maintenant , nous allons pouvoir calculer l'écart type :
σ=5,7104\sigma =\sqrt{5,7104} ainsi :
σ≈2,39\sigma \approx2,39

Question 3
A partir des calculs réalisés par le stagiaire, l'agent de la répression des fraudes doit décider si cette boulangerie est en conformité avec la loi en utilisant deux critères simultanément :
  • La masse moyenne observée sur l'échantillon de 5050 baguettes ne doit pas être inférieur de plus de 44 grammes à la masse annoncée de 250250 g.
  • L'intervalle [x‾−2×σ;x‾+2×σ]\left[\overline{x}-2\times \sigma ;\overline{x}+2\times \sigma \right] doit contenir au moins 9595 % des masses de baguettes relevées par l'agent.

Cette boulangerie respecte-t-elle la loi?

Correction
La masse moyenne observée sur l'échantillon de 5050 baguettes ne doit pas être inférieur de plus de 44 grammes à la masse annoncée de 250250 g. C'est bien le cas ici, car nous avons trouvé x‾=248,36\overline{x}=248,36

L'intervalle [x‾−2×σ;x‾+2×σ]\left[\overline{x}-2\times \sigma ;\overline{x}+2\times \sigma \right] correspond ici à [248,36−2×2,39;248,36+2×2,39]\left[248,36-2\times 2,39 ;248,36+2\times 2,39 \right] ainsi : [243,58;253,14]\left[243,58;253,14\right]. Or, toutes les baguettes dans l'échantillon appartiennent à l'intervalle [243,58;253,14]\left[243,58;253,14\right]. Nous avons donc 100100% des baguettes qui appartiennent à l'intervalle [x‾−2×σ;x‾+2×σ]\left[\overline{x}-2\times \sigma ;\overline{x}+2\times \sigma \right].

Il en résulte que cette boulangerie respecte la loi.
Question 4
Une deuxième visite d'inspection est réalisée dans une boulangerie artisanale. L'agent de répression des fraudes a prélevé comme précédemment 5050 baguettes et a relevé leur masse. Il a obtenu les résultats suivants :

L'élève propose de nouveau son aide mais se souvient qu'il peut utiliser les listes de sa calculatrice pour aller plus vite. Donner dans ce cas, la moyenne, la médiane, Q1Q_{1}, Q3Q_{3} et l'écart-type.

Correction
D'après la calculatrice, on obtient :
x‾=248,36\overline{x}=248,36
σ=1,9\sigma=1,9
Q1=247Q_{1}=247
Q3=250Q_{3}=250
Me=248Me=248
Question 5

Avec ces données, l'agent de la répression des fraudes va-t-il considérer que cette boulangerie respecte la loi selon les mêmes critères que précédemment?

Correction
La masse moyenne observée sur l'échantillon de 5050 baguettes ne doit pas être inférieur de plus de 44 grammes à la masse annoncée de 250250 g. C'est bien le cas ici, car nous avons trouvé x‾=248,36\overline{x}=248,36

L'intervalle [x‾−2×σ;x‾+2×σ]\left[\overline{x}-2\times \sigma ;\overline{x}+2\times \sigma \right] correspond ici à [248,36−2×1,9;248,36+2×1,9]\left[248,36-2\times 1,9 ;248,36+2\times 1,9 \right] ainsi : [244,56;252,16]\left[244,56;252,16\right]

Or, toutes les baguettes dans l'échantillon appartiennent à l'intervalle [244,56;252,16]\left[244,56;252,16\right]. Nous avons donc 100100% des baguettes qui appartiennent à l'intervalle [x‾−2×σ;x‾+2×σ]\left[\overline{x}-2\times \sigma ;\overline{x}+2\times \sigma \right].

Il en résulte que cette boulangerie respecte la loi.
Question 6

L'élève se propose de comparer les deux boulangeries avec les moyennes et les écart-types. Que pourrait-il dire à son maître de stage.

Correction
Les deux boulangeries ont la même moyenne x‾=248,36\overline{x}=248,36.
Cependant la boulangerie industrielle a un écart type qui vaut 2,392,39 et la boulangerie artisanale a un écart type qui vaut 1,91,9.
Cela signifie que la boulangerie artisanale fabrique des baguettes de pains dont le poids variera moins que celle de la boulangerie industrielle car l'écart type de la boulangerie artisanale est le plus petit.
Il semblerait que la boulangerie artisanale fasse mieux son travail que la boulangerie indistruelle.