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Déterminer une moyenne, une variance et un écart type - Exercice 2

15 min
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On donne la série suivante :
Question 1

Calculer la moyenne de cette série.

Correction
La moyenne d'une série statistique est le réel, noté x‾\overline{x}, tel que :
x‾=n1x1+n2x2+n3x3+…+npxpN\overline{x}=\frac{n_{1} x_{1} +n_{2} x_{2} +n_{3} x_{3} +\ldots +n_{p} x_{p} }{N}
Il vient alors que :
x‾=0×13+1×14+2×21+3×19+4×813+14+21+19+8\overline{x}=\frac{0\times 13+1\times14+2\times 21+3\times 19+4\times 8}{13+14+21+19+8}
x‾=14575\overline{x}=\frac{145}{75}
x‾=2915\overline{x}=\frac{29}{15}
x‾≈1,93\overline{x}\approx 1,93
arrondi à 10−210^{-2} près.
Question 2

Calculer la variance et l'écart type de cette série.

Correction
La variance d'une série statistique est le réel, noté VV, tel que :
V=n1(x1−x‾)2+n2(x2−x‾)2+n3(x3−x‾)2+…+np(xp−x‾)2NV=\frac{n_{1} \left(x_{1} -\overline{x}\right)^{2} +n_{2} \left(x_{2} -\overline{x}\right)^{2} +n_{3} \left(x_{3} -\overline{x}\right)^{2} +\ldots +n_{p} \left(x_{p} -\overline{x}\right)^{2} }{N}

Il en résulte que :
V=13×(0−2915)2+14×(1−2915)2+21×(2−2915)2+19×(3−2915)2+8×(4−2915)275V=\frac{13\times \left(0-\frac{29}{15} \right)^{2} +14\times \left(1-\frac{29}{15} \right)^{2} +21\times \left(2-\frac{29}{15} \right)^{2} +19\times \left(3-\frac{29}{15} \right)^{2} +8\times \left(4-\frac{29}{15} \right)^{2} }{75} . Nous utilisons la valeur exacte de la moyenne x‾=2915\overline{x}=\frac{29}{15} et non l'arrondi afin d'être le plus exacte possible dans nos résultats.
V=149V=\frac{14}{9}
V≈1,55V\approx 1,55
arrondi à 10−210^{-2} près.
La racine carrée de la variance est l'écart type de cette série. On note σ\sigma l'écart type.
σ=V\sigma =\sqrt{V}
σ=149\sigma =\sqrt{\frac{14}{9} }
σ≈1,25\sigma \approx1,25
arrondi à 10−210^{-2} près.

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