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Déterminer une moyenne, une variance et un écart type - Exercice 1

15 min
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Après un contrôle, un professeur de mathématiques remplit le tableau donné ci-dessous.
Question 1

Calculer la moyenne de la classe.

Correction
La moyenne d'une série statistique est le réel, noté x\overline{x}, tel que :
x=n1x1+n2x2+n3x3++npxpN\overline{x}=\frac{n_{1} x_{1} +n_{2} x_{2} +n_{3} x_{3} +\ldots +n_{p} x_{p} }{N}

Il vient alors que :
x=10×4+12×5+14×4+15×3+16×117\overline{x}=\frac{10\times 4+12\times 5+14\times 4+15\times 3+16\times 1}{17}
x=21717\overline{x}=\frac{217}{17}
x12,76\overline{x}\approx 12,76 arrondi à 10210^{-2} près.
Question 2

Calculer la variance et l'écart type

Correction
La variance d'une série statistique est le réel, noté VV, tel que :
V=n1(x1x)2+n2(x2x)2+n3(x3x)2++np(xpx)2NV=\frac{n_{1} \left(x_{1} -\overline{x}\right)^{2} +n_{2} \left(x_{2} -\overline{x}\right)^{2} +n_{3} \left(x_{3} -\overline{x}\right)^{2} +\ldots +n_{p} \left(x_{p} -\overline{x}\right)^{2} }{N}

Il en résulte que :
V=4×(1021717)2+5×(1221717)2+4×(1421717)2+3×(1521717)2+1×(1621717)217V=\frac{4\times \left(10-\frac{217}{17} \right)^{2} +5\times \left(12-\frac{217}{17} \right)^{2} +4\times \left(14-\frac{217}{17} \right)^{2} +3\times \left(15-\frac{217}{17} \right)^{2} +1\times \left(16-\frac{217}{17} \right)^{2} }{17}
V=1106289V=\frac{1106}{289}
V3,83V\approx 3,83 arrondi à 10210^{-2} près.
La racine carrée de la variance est l'écart type de cette série. On note σ\sigma l'écart type.
σ=V\sigma =\sqrt{V}
σ=1106289\sigma =\sqrt{\frac{1106}{289} }
σ=1,96\sigma =1,96 arrondi à 10210^{-2} près.