Sujet Antilles-Guyane – 11 septembre 2026 - Exercice 1

On note $$S\left(x_{S};y_{S}\right)$$ le sommet de la parabole $$\mathcal{P}$$. Ici $$a=1$$, $$b=2$$ et $$c=-3$$, donc :
$$x_{S}=\alpha=\dfrac{-b}{2a}$$ ainsi $$x_{S}=\dfrac{-2}{2\times 1}$$ d'où $$x_{S}=-1$$
$$y_{S}=\beta=f\left(\alpha\right)$$ ainsi $$y_{S}=f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2}+2\times\left(-1\right)-3=1-2-3$$ d'où $$y_{S}=-4$$
$$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut et $$S\left(-1;-4\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un minimum).
D'où :

Calculons les images de $$-3$$ et de $$2$$ par la fonction $$g$$.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$g\left(-3\right)=\left(-3\right)^{2}+\left(-3\right)-6=9-3-6=0$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$g\left(2\right)=2^{2}+2-6=4+2-6=0$$
Ainsi : Remarque : un trinôme du second degré admet au plus deux racines : $$g$$ n'en a donc pas d'autre.

D'après la question précédente, $$g$$ admet deux racines réelles distinctes $$x_{1}=-3$$ et $$x_{2}=2$$. Le tableau de signe du trinôme du second degré dépend alors du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$g$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

Pour tout réel $$x$$, $$f\left(x\right)-h\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)-h\left(x\right)=x^{2}+2x-3-\left(x+3\right)$$
$$f\left(x\right)-h\left(x\right)=x^{2}+2x-3-x-3$$
Ainsi :

D'après la question précédente, $$f\left(x\right)-h\left(x\right)=g\left(x\right)$$, dont on connaît le signe :

• Sur l'intervalle $$\left]-\infty;-3\right[\cup\left]2;+\infty\right[$$, nous avons $$g\left(x\right)\gt 0$$ autrement dit $$f\left(x\right)-h\left(x\right)\gt 0$$ ou encore $$f\left(x\right)\gt h\left(x\right)$$. Cela signifie que la parabole $$\mathcal{P}$$ est strictement au-dessus de la droite $$\mathcal{D}$$.
• Sur l'intervalle $$\left]-3;2\right[$$, nous avons $$g\left(x\right)\lt 0$$ autrement dit $$f\left(x\right)-h\left(x\right)\lt 0$$ ou encore $$f\left(x\right)\lt h\left(x\right)$$. Cela signifie que la parabole $$\mathcal{P}$$ est strictement en dessous de la droite $$\mathcal{D}$$.
• Aux points d'abscisses $$x=-3$$ et $$x=2$$, la parabole $$\mathcal{P}$$ et la droite $$\mathcal{D}$$ sont sécantes.

Les ordonnées s'obtiennent avec $$h$$ (plus simple que $$f$$) : $$h\left(-3\right)=-3+3=0$$ et $$h\left(2\right)=2+3=5$$.
D'où :

On place le sommet $$S\left(-1;-4\right)$$, les points d'intersection $$A\left(-3;0\right)$$ et $$B\left(2;5\right)$$, puis on trace la parabole $$\mathcal{P}$$ (tournée vers le haut) et la droite $$\mathcal{D}$$, qui passe par $$A$$ et $$B$$ :Entre $$A$$ et $$B$$, la parabole est bien en dessous de la droite ; en dehors, elle est au-dessus.