Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Somme et produit des racines - Exercice 4

15 min
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Soit gg la fonction définie pour tout réel xx par g(x)=5x2−2x−3g\left(x\right)=5x^{2}-2x-3 .
Question 1

Vérifier que 11 est une racine de gg .

Correction
On vérifie facilement que 11 est une racine évidente de 5x2−2x−3=05x^{2}-2x-3=0. En effet, 5×12−2×1−3=05\times1^{2}-2\times1-3=0 .
Question 2

Sans calcul supplémentaire, déterminer le produit des racines de gg .

Correction
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=−ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : 5x2−2x−3=05x^{2}-2x-3=0 ainsi a=5a=5 ; b=−2b=-2 et c=−3c=-3 . Nous allons déterminer le produit des racines.
    Il vient alors que :
    P=ca=−35P=\frac{c}{a}=\frac{-3}{5}
    Question 3

    En déduire la seconde racine de gg .

    Correction
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=−ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons montré que 11 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=1x_{1}=1 .
    D'après la question précédente : P=−35P=\frac{-3}{5} et comme PP est également égale à P=x1×x2P=x_{1}\times x_{2}. Il en résulte donc que :
    x1×x2=−35x_{1}\times x_{2}=\frac{-3}{5}
    1×x2=−351\times x_{2}=\frac{-3}{5}
    D'où : x2=−35x_{2}=\frac{-3}{5}
    Question 4

    Donner la forme factorisée de gg .

    Correction
    Nous savons maintenant que g(x)=5x2−2x−3g\left(x\right)=5x^{2}-2x-3 admet deux racines x1=1x_{1}=1 et x2=−35x_{2}=\frac{-3}{5} .
    • Soit un polynome ax2+bx+cax^{2}+bx+c qui admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2} alors sa forme factorisée est de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
    Il en résulte donc que :
    g(x)=5(x−1)(x−(−35))g\left(x\right)=5\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5} \right)\right)
    g(x)=5(x−1)(x+35)g\left(x\right)=5\left(x-1\right)\left(x+\frac{3}{5} \right)