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Somme et produit des racines - Exercice 3

15 min
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Trouver une racine évidente dans les équations suivantes et en déduire l’autre solution sans calculer le discriminant.
Question 1

x2+x−2=0x^{2}+x-2=0

Correction
On vérifie facilement que 11 est une racine évidente de x2+x−2=0x^{2}+x-2=0. En effet, 12+1−2=01^{2}+1-2=0 .
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=−ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : x2+x−2=0x^{2}+x-2=0 ainsi a=1a=1 ; b=1b=1 et c=−2c=-2 . Nous allons déterminer la somme et le produit des racines.
    Il vient alors que :
    {S=−11P=−21\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {\frac{-1}{1}} \\ {P} & {=} & {\frac{-2}{1}} \end{array}\right.
    {S=−1P=−2\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-1} \\ {P} & {=} & {-2} \end{array}\right.
    Nous avons montré que 11 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=1x_{1}=1 .
    Nous savons que :
    {S=x1+x2=−1P=x1×x2=−2\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {-1 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {-2} \end{array}\right.
    Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la premieˋre ligne de notre systeˋme.\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la première ligne de notre système.}}
    Nous aurions pu eˊgalement utiliser la deuxieˋme ligne eˊgalement .\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la deuxième ligne également .}}
    Il en résulte donc que :
    x1+x2=−1x_{1}+x_{2}=-1
    1+x2=−11+x_{2}=-1
    x2=−1−1x_{2}=-1-1
    x2=−2x_{2}=-2
    La deuxième racine de l'équation x2+x−2=0x^{2}+x-2=0 est alors x2=−2x_{2}=-2 .
    Question 2

    6x2−4x−10=06x^{2}-4x-10=0

    Correction
    On vérifie facilement que −1-1 est une racine évidente de 6x2−4x−10=06x^{2}-4x-10=0.
    En effet, 6×(−1)2−4×(−1)−10=6+4−10=06\times\left(-1\right)^{2}-4\times\left(-1\right)-10=6+4-10=0 .
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=−ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : 6x2−4x−10=06x^{2}-4x-10=0 ainsi a=6a=6 ; b=−4b=-4 et c=−10c=-10 . Nous allons déterminer la somme et le produit des racines.
    Il vient alors que :
    {S=−(−4)6P=−106\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\frac{\left(-4\right)}{6}} \\ {P} & {=} & {\frac{-10}{6}} \end{array}\right.
    {S=46P=−106\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {\frac{4}{6}} \\ {P} & {=} & {\frac{-10}{6}} \end{array}\right.
    {S=23P=−53\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {\frac{2}{3}} \\ {P} & {=} & {\frac{-5}{3}} \end{array}\right.
    Nous avons montré que −1-1 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=−1x_{1}=-1 .
    Nous savons que :
    {S=x1+x2=23P=x1×x2=−53\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {\frac{2}{3} } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {\frac{-5}{3}} \end{array}\right.
    Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la deuxieˋme ligne de notre systeˋme.\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la deuxième ligne de notre système.}}
    Nous aurions pu eˊgalement utiliser la premieˋre ligne eˊgalement .\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la première ligne également .}}
    Il en résulte donc que :
    x1×x2=−53x_{1}\times x_{2}=\frac{-5}{3}
    −1×x2=−53-1\times x_{2}=\frac{-5}{3}
    x2=53x_{2}=\frac{5}{3}
    La deuxième racine de l'équation 6x2−4x−10=06x^{2}-4x-10=0 est alors x2=53x_{2}=\frac{5}{3} .

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