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Somme et produit des racines - Exercice 2

6 min
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Question 1

Vérifier que 33 est racine de l'équation : 2x2+2x−24=02x^{2}+2x-24=0

Correction
Il nous faut remplacer tous les xx par 33 et nous devons obtenir 00 . Il vient que :
2×32+2×3−24=18+6−24=02\times3^{2}+2\times 3-24=18+6-24=0
Donc 33 est bien une racine de l'équation : 2x2+2x−24=02x^{2}+2x-24=0
Question 2

Quelle est la somme et le produit des racines?

Correction
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=−ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : 2x2+2x−24=02x^{2}+2x-24=0 ainsi a=2a=2 ; b=2b=2 et c=−24c=-24 .
    Il vient alors que :
    {S=−22P=−242\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\frac{2}{2}} \\ {P} & {=} & {\frac{-24}{2}} \end{array}\right.
    {S=−1P=−12\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-1} \\ {P} & {=} & {-12} \end{array}\right.
    Question 3

    En déduire l’autre solution.

    Correction
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=−ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
    • D'après la question 11, nous avons montré que 33 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=3x_{1}=3 .
    D'après la question 22, nous savons que :
    {S=x1+x2=−1P=x1×x2=−12\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {-1 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {-12} \end{array}\right.
    Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la deuxieˋme ligne de notre systeˋme.\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la deuxième ligne de notre système.}}
    Nous aurions pu eˊgalement utiliser la premieˋre ligne eˊgalement .\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la première ligne également .}}
    Il en résulte donc que :
    x1×x2=−12x_{1}\times x_{2}=-12
    3×x2=−123\times x_{2}=-12
    x2=−123x_{2}=\frac{-12}{3}
    x2=−4x_{2}=-4
    La deuxième racine de l'équation 2x2+2x−24=02x^{2}+2x-24=0 est alors x2=−4x_{2}=-4 .

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