Somme et produit des racines : Une application un peu plus compliquée - Exercice 2

Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}-24}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}5}} \end{array}\right.$$

D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}5}x+\left({\color{blue}-24}\right)=0$$ que l'on écrit : $$x^{2}-5x-24=0$$ .

On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-5$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-24$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$

Ainsi :
$$\Delta =\left(-5\right)^{2} -4\times 1\times \left(-24\right)$$
$$\Delta =25+96=121$$

Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.

Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :

$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{121} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =-3$$

$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{121} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =8$$

Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {-24} \\ {x+y} & {=} & {5} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(-3;8\right)$$ et $$\left(8;-3\right)$$

Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}-18}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}3}} \end{array}\right.$$

D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}3}x+\left({\color{blue}-18}\right)=0$$ que l'on écrit : $$x^{2}-3x-18=0$$ .

On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-3$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-18$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$

Ainsi :
$$\Delta =\left(-3\right)^{2} -4\times 1\times \left(-18\right)$$
$$\Delta =9+72=81$$

Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.

Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :

$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{81} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =-3$$

$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{81} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =6$$

Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {-18} \\ {x+y} & {=} & {3} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(-3;6\right)$$ et $$\left(6;-3\right)$$