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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Somme et produit des racines : Une application un peu plus compliquée - Exercice 1

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Question 1

Déterminer deux réels xx et yy vérifiant le système : {xy=6x+y=7\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {6} \\ {x+y} & {=} & {7} \end{array}\right.

Correction
  • Les réels x1x_{1} et x2x_{2} vérifiant le système : {x1×x2=Px1+x2=S\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1}\times x_{2}} & {=} & {{\color{blue}P}} \\ {x_{1}+x_{2}} & {=} & {{\color{red}S}} \end{array}\right. sont également solutions de l'équation du second degré de la forme : x2Sx+P=0x^{2}-{\color{red}S}x+{\color{blue}P}=0
  • Nous voulons résoudre {xy=6x+y=7\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}6}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}7}} \end{array}\right.
    D'après le rappel, xx et yy sont donc solutions de l'équation x27x+6=0x^{2}-{\color{red}7}x+{\color{blue}6}=0
    On utilise le discriminant .
    1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
    • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
    • b=b= nombre devant xx d'où b=7b=-7
    • c=c= nombre seul d'où c=6c=6
    2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
    Ainsi :
    Δ=(7)24×1×6\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6
    Δ=4924=25\Delta =49-24=25
    Donc
    Δ>0\Delta >0

    3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
    Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
    x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(7)252×1x{}_{1} =\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{25} }{2\times 1} d'où x1=1x{}_{1} =1
    x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(7)+252×1x{}_{2} =\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{25} }{2\times 1} d'où x2=6x{}_{2} =6
    Les deux réels xx et yy vérifiant le système : {xy=6x+y=7\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {6} \\ {x+y} & {=} & {7} \end{array}\right. sont les couples (1;6)\left(1;6\right) et (6;1)\left(6;1\right)
    Question 2

    Déterminer deux réels xx et yy vérifiant le système : {xy=15x+y=8\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {15} \\ {x+y} & {=} & {8} \end{array}\right.

    Correction
  • Les réels x1x_{1} et x2x_{2} vérifiant le système : {x1×x2=Px1+x2=S\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1}\times x_{2}} & {=} & {{\color{blue}P}} \\ {x_{1}+x_{2}} & {=} & {{\color{red}S}} \end{array}\right. sont également solutions de l'équation du second degré de la forme : x2Sx+P=0x^{2}-{\color{red}S}x+{\color{blue}P}=0
  • Nous voulons résoudre {xy=15x+y=8\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}15}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}8}} \end{array}\right.
    D'après le rappel, xx et yy sont donc solutions de l'équation x28x+15=0x^{2}-{\color{red}8}x+{\color{blue}15}=0
    On utilise le discriminant .
    1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
    • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
    • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=-8
    • c=c= nombre seul d'où c=15c=15
    2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
    Ainsi :
    Δ=(8)24×1×15\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 1\times 15
    Δ=6460=4\Delta =64-60=4
    Donc
    Δ>0\Delta >0

    3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
    Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
    x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(8)42×1x{}_{1} =\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x1=3x{}_{1} =3
    x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(8)+42×1x{}_{2} =\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x2=5x{}_{2} =5
    Les deux réels xx et yy vérifiant le système : {xy=15x+y=8\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {15} \\ {x+y} & {=} & {8} \end{array}\right. sont les couples (3;5)\left(3;5\right) et (5;3)\left(5;3\right)
    Question 3

    Déterminer deux réels xx et yy vérifiant le système : {xy=14x+y=5\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {-14} \\ {x+y} & {=} & {5} \end{array}\right.

    Correction
  • Les réels x1x_{1} et x2x_{2} vérifiant le système : {x1×x2=Px1+x2=S\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1}\times x_{2}} & {=} & {{\color{blue}P}} \\ {x_{1}+x_{2}} & {=} & {{\color{red}S}} \end{array}\right. sont également solutions de l'équation du second degré de la forme : x2Sx+P=0x^{2}-{\color{red}S}x+{\color{blue}P}=0
  • Nous voulons résoudre {xy=14x+y=5\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}-14}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}5}} \end{array}\right.
    D'après le rappel, xx et yy sont donc solutions de l'équation x25x+(14)=0x^{2}-{\color{red}5}x+\left({\color{blue}-14}\right)=0 que l'on écrit : x25x14=0x^{2}-5x-14=0 .
    On utilise le discriminant .
    1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
    • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
    • b=b= nombre devant xx d'où b=5b=-5
    • c=c= nombre seul d'où c=14c=-14
    2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
    Ainsi :
    Δ=(5)24×1×(14)\Delta =\left(-5\right)^{2} -4\times 1\times \left(-14\right)
    Δ=25+56=81\Delta =25+56=81
    Donc
    Δ>0\Delta >0

    3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
    Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
    x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(5)812×1x{}_{1} =\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{81} }{2\times 1} d'où x1=2x{}_{1} =-2
    x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(5)+812×1x{}_{2} =\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{81} }{2\times 1} d'où x2=7x{}_{2} =7
    Les deux réels xx et yy vérifiant le système : {xy=14x+y=5\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {-14} \\ {x+y} & {=} & {5} \end{array}\right. sont les couples (2;7)\left(-2;7\right) et (7;2)\left(7;-2\right)