Somme et produit des racines : Une application un peu plus compliquée - Exercice 1

Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}6}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}7}} \end{array}\right.$$
D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}7}x+{\color{blue}6}=0$$
On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-7$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=6$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6$$
$$\Delta =49-24=25$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =6$$
Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {6} \\ {x+y} & {=} & {7} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(1;6\right)$$ et $$\left(6;1\right)$$

Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}15}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}8}} \end{array}\right.$$
D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}8}x+{\color{blue}15}=0$$
On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-8$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=15$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 1\times 15$$
$$\Delta =64-60=4$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =3$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =5$$
Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {15} \\ {x+y} & {=} & {8} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(3;5\right)$$ et $$\left(5;3\right)$$

Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}-14}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}5}} \end{array}\right.$$
D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}5}x+\left({\color{blue}-14}\right)=0$$ que l'on écrit : $$x^{2}-5x-14=0$$ .
On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-5$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-14$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-5\right)^{2} -4\times 1\times \left(-14\right)$$
$$\Delta =25+56=81$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{81} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =-2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{81} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =7$$
Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {-14} \\ {x+y} & {=} & {5} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(-2;7\right)$$ et $$\left(7;-2\right)$$