Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Somme et produit des racines - Exercice 1

6 min
10
Question 1

Vérifier que 77 est racine de l'équation : x28x+7=0x^{2}-8x+7=0

Correction
Il nous faut remplacer tous les xx par 77 et nous devons obtenir 00 . Il vient que :
728×7+7=4956+7=07^{2}-8\times 7+7=49-56+7=0
Donc 77 est bien une racine de l'équation : x28x+7=0x^{2}-8x+7=0
Question 2

Quelle est la somme et le produit des racines?

Correction
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
  • Nous avons : x28x+7=0x^{2}-8x+7=0 ainsi a=1a=1 ; b=8b=-8 et c=7c=7 .
    Il vient alors que :
    {S=(81)P=71\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {-\left(\frac{-8}{1} \right)} \\ {P} & {=} & {\frac{7}{1} } \end{array}\right.
    {S=8P=7\left\{\begin{array}{ccc} {S} & {=} & {8 } \\ {P} & {=} & {7} \end{array}\right.
    Question 3

    En déduire l’autre solution.

    Correction
  • Si un trinôme ax2+bx+cax^{2}+bx+c admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=x1+x2=ba{\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P=x1×x2=ca{\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}} .
  • D'après la question 11, nous avons montré que 77 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x1=7x_{1}=7 .
    D'après la question 22, nous savons que :
    {S=x1+x2=8P=x1×x2=7\left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {8 } \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {7} \end{array}\right.
    Nous choisissons ici de deˊterminer l’autre racine avec la premieˋre ligne de notre systeˋme.\red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la première ligne de notre système.}}
    Nous aurions pu eˊgalement utiliser la deuxieˋme ligne eˊgalement .\red{\text{Nous aurions pu également utiliser la deuxième ligne également .}}
    Il en résulte donc que :
    x1+x2=8x_{1}+x_{2}=8
    7+x2=87+x_{2}=8
    x2=87x_{2}=8-7
    x2=1x_{2}=1
    La deuxième racine de l'équation x28x+7=0x^{2}-8x+7=0 est alors x2=1x_{2}=1 .