Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Résoudre dans R\mathbb{R}, à l’aide du discriminant Δ\Delta, une équation du second degré - Exercice 1

10 min
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A l'aide du discriminant Δ\Delta , résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

x24x+3=0x^{2} -4x+3=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=4b=-4
  • c=c= nombre seul d'où c=3c=3
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(4)24×1×3\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times 1\times 3
Δ=1612=4\Delta =16-12=4
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(4)42×1x{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x1=1x{}_{1} =1
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(4)+42×1x{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x2=3x{}_{2} =3
Les racines de l'équation x24x+3=0x^{2} -4x+3=0 sont donc S={1;3}S=\left\{1;3\right\}
Question 2

x2+2x1=0-x^{2} +2x-1=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=-1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=2b=2
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=-1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=224×(1)×(1)\Delta =2^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1\right)
Δ=44=0\Delta =4-4=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=22×(1)x{}_{0} =\frac{-2}{2\times \left(-1\right)} d'où x0=1x{}_{0} =1
La racine de l'équation x2+2x1=0-x^{2} +2x-1=0 est donc S={1}S=\left\{1\right\}
Question 3

2x2+3x+10=02x^{2} +3x+10=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=3b=3
  • c=c= nombre seul d'où c=10c=10
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=324×2×10\Delta =3^{2} -4\times 2\times 10
Δ=980=71\Delta =9-80=-71
Donc
Δ<0\Delta <0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ<0\Delta <0 alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit , il n'y a pas de solution à l'équation 2x2+3x+10=02x^{2} +3x+10=0 car Δ<0\Delta <0.
Question 4

x27x+6=0x^{2} -7x+6=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=7b=-7
  • c=c= nombre seul d'où c=6c=6
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(7)24×1×6\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6
Δ=4924=25\Delta =49-24=25
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(7)252×1x{}_{1} =\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{25} }{2\times 1} d'où x1=1x{}_{1} =1
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(7)+252×1x{}_{2} =\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{25} }{2\times 1} d'où x2=6x{}_{2} =6
Les racines de l'équation x27x+6=0x^{2} -7x+6=0 sont donc S={1;6}S=\left\{1;6\right\}
Question 5

2x28x+8=02x^{2}-8x+8=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=-8
  • c=c= nombre seul d'où c=8c=8
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(8)24×2×8\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 2\times 8
Δ=6464=0\Delta =64-64=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=(8)2×2x{}_{0} =\frac{-\left(-8\right)}{2\times 2} d'où x0=2x{}_{0} =2
La racine de l'équation 2x28x+8=02x^{2} -8x+8=0 est donc S={2}S=\left\{2\right\}
Question 6

2x23x+2=0\sqrt{2} x^{2} -3x+\sqrt{2}=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=\sqrt{2}
  • b=b= nombre devant xx d'où b=3b=-3
  • c=c= nombre seul d'où c=2c=\sqrt{2}
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(3)24×2×2\Delta =\left(-3\right)^{2} -4\times \sqrt{2} \times \sqrt{2}
Δ=98=1\Delta =9-8=1
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(3)12×2x_{1} =\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{1} }{2\times \sqrt{2} } d'où x1=12x_{1} =\frac{1}{\sqrt{2} } ainsi x1=22x_{1} =\frac{\sqrt{2} }{2}
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(3)+12×2x{}_{2} =\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{1} }{2\times \sqrt{2} } d'où 22\frac{2}{\sqrt{2} } ainsi x2=2x_{2} =\sqrt{2}
Les racines de l'équation 2x23x+2\sqrt{2} x^{2} -3x+\sqrt{2} sont donc S={2;22}S=\left\{\sqrt{2};\frac{\sqrt{2} }{2}\right\}
Question 7

2x2+12x+18=02x^{2}+12x+18=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=12b=12
  • c=c= nombre seul d'où c=18c=18
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=1224×2×18\Delta =12^{2} -4\times 2\times 18
Δ=144144=0\Delta =144-144=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=122×2x{}_{0} =-\frac{12}{2\times 2} d'où x0=3x{}_{0} =-3
La racine de l'équation 2x2+12x+18=02x^{2} +12x+18=0 est donc S={3}S=\left\{-3\right\}
Question 8

x2+x2=0x^{2}+x-2=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=1b=1
  • c=c= nombre seul d'où c=2c=-2
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=124×1×(2)\Delta =1^{2} -4\times 1\times \left(-2\right)
Δ=1+8=9\Delta =1+8=9
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=192x_{1} =\frac{-1-\sqrt{9} }{2 } d'où x1=42x_{1} =\frac{-4}{2 } ainsi x1=2x_{1} =-2
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=1+92x_{2} =\frac{-1+\sqrt{9} }{2 } d'où x2=22x_{2} =\frac{2}{2 } ainsi x2=1x_{2} =1
Les racines de l'équation x2+x2=0x^{2}+x-2=0 sont donc S={2;1}S=\left\{-2;1\right\}
Question 9

2x2x3=0-2x^{2}-x-3=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=-2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=1b=-1
  • c=c= nombre seul d'où c=3c=-3
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(1)24×(2)×(3)\Delta =\left(-1\right)^{2} -4\times \left(-2\right)\times \left(-3\right)
Δ=124=23\Delta =1-24=-23
Donc
Δ<0\Delta <0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ<0\Delta <0 alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit , il n'y a pas de solution à l'équation 2x2+3x+10=02x^{2} +3x+10=0 car Δ<0\Delta <0.
Question 10

5x2210x+2=05x^{2} -2\sqrt{10} x+2=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=5a=5
  • b=b= nombre devant xx d'où b=210b=2\sqrt{10}
  • c=c= nombre seul d'où c=2c=2
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(210)24×5×2\Delta =\left(-2\sqrt{10} \right)^{2} -4\times 5\times 2
Δ=4040\Delta =40-40
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=(210)2×5x{}_{0} =-\frac{\left(-2\sqrt{10} \right)}{2\times 5} d'où x0=105x{}_{0} =\frac{\sqrt{10}}{5}
La racine de l'équation 5x2210x+2=05x^{2} -2\sqrt{10} x+2=0 est donc S={105}S=\left\{\frac{\sqrt{10}}{5}\right\}