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Résoudre dans R\mathbb{R}, à l’aide du discriminant Δ\Delta, une équation du second degré - Exercice 1

15 min
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A l'aide du discriminant Δ\Delta , résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :
Question 1

x24x+3=0x^{2} -4x+3=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=4b=-4
  • c=c= nombre seul d'où c=3c=3
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(4)24×1×3\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times 1\times 3
Δ=1612=4\Delta =16-12=4
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(4)42×1x{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x1=1x{}_{1} =1
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(4)+42×1x{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4} }{2\times 1} d'où x2=3x{}_{2} =3
Les racines de l'équation x24x+3=0x^{2} -4x+3=0 sont donc S={1;3}S=\left\{1;3\right\}
Question 2

x2+2x1=0-x^{2} +2x-1=0

Correction
1ère étape :On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=-1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=2b=2
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=-1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=224×(1)×(1)\Delta =2^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1\right)
Δ=44=0\Delta =4-4=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=22×(1)x{}_{0} =\frac{-2}{2\times \left(-1\right)} d'où x0=1x{}_{0} =1
La racine de l'équation x2+2x1=0-x^{2} +2x-1=0 est donc S={1}S=\left\{1\right\}
Question 3

2x2+3x+10=02x^{2} +3x+10=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=3b=3
  • c=c= nombre seul d'où c=10c=10
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=324×2×10\Delta =3^{2} -4\times 2\times 10
Δ=980=71\Delta =9-80=-71
Donc
Δ<0\Delta <0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ<0\Delta <0 alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit , il n'y a pas de solution à l'équation 2x2+3x+10=02x^{2} +3x+10=0 car Δ<0\Delta <0.
Question 4

x27x+6=0x^{2} -7x+6=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=7b=-7
  • c=c= nombre seul d'où c=6c=6
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(7)24×1×6\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6
Δ=4924=25\Delta =49-24=25
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(7)252×1x{}_{1} =\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{25} }{2\times 1} d'où x1=1x{}_{1} =1
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(7)+252×1x{}_{2} =\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{25} }{2\times 1} d'où x2=6x{}_{2} =6
Les racines de l'équation x27x+6=0x^{2} -7x+6=0 sont donc S={1;6}S=\left\{1;6\right\}
Question 5

2x28x+8=02x^{2}-8x+8=0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs a,ba,b et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=-8
  • c=c= nombre seul d'où c=8c=8
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(8)24×2×8\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 2\times 8
Δ=6464=0\Delta =64-64=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=(8)2×2x{}_{0} =\frac{-\left(-8\right)}{2\times 2} d'où x0=2x{}_{0} =2
La racine de l'équation 2x28x+8=02x^{2} -8x+8=0 est donc S={2}S=\left\{2\right\}