Résoudre dans $$\mathbb{R}$$, à l’aide du discriminant $$\Delta$$, une équation du second degré - Exercice 1

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-4$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=3$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times 1\times 3$$
$$\Delta =16-12=4$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =3$$
Les racines de l'équation $$x^{2} -4x+3=0$$ sont donc $$S=\left\{1;3\right\}$$

1^ère étape :On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-1$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =2^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1\right)$$
$$\Delta =4-4=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-2}{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x{}_{0} =1$$
La racine de l'équation $$-x^{2} +2x-1=0$$ est donc $$S=\left\{1\right\}$$

1^ère étape : On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=3$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=10$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =3^{2} -4\times 2\times 10$$
$$\Delta =9-80=-71$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit , il n'y a pas de solution à l'équation $$2x^{2} +3x+10=0$$ car $$\Delta <0$$.

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-7$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=6$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6$$
$$\Delta =49-24=25$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =6$$
Les racines de l'équation $$x^{2} -7x+6=0$$ sont donc $$S=\left\{1;6\right\}$$

1^ère étape : On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-8$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=8$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 2\times 8$$
$$\Delta =64-64=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-\left(-8\right)}{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{0} =2$$
La racine de l'équation $$2x^{2} -8x+8=0$$ est donc $$S=\left\{2\right\}$$