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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Reconnaitre le signe de aa , cc et Δ\Delta à l'aide d'un graphique - Exercice 1

12 min
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On a représenté ci-dessous plusieurs fonctions trinômes du second degré, de la forme f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a0a\ne0 et bb et cc des réels.
Question 1
Pour chacune des fonctions, indiquer le signe de aa , le signe de cc et enfin le signe de Δ\Delta.

Correction
  • La parabole est tournée vers le haut , ce qui signifie que :
    a>0a>0
  • La parabole passe par deux fois par l'axe des abscisses. Ce qui signifie que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux racines réelles distinctes. Il en résulte donc que :
    Δ>0\Delta>0
  • Pour déterminer le signe de cc, il nous suffit de déterminer le signe de l'image de 00 par ff. On lit facilement ici que f(0)1>0f\left(0\right)\approx1>0. Il en résulte donc que :
    c>0c>0
  • Question 2

    Correction
  • La parabole est tournée vers le bas , ce qui signifie que :
    a<0a<0
  • La parabole ne passe pas par l'axe des abscisses. Ce qui signifie que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'admet pas de racines réelles. Il en résulte donc que :
    Δ<0\Delta<0
  • Pour déterminer le signe de cc, il nous suffit de déterminer le signe de l'image de 00 par ff. On lit facilement ici que f(0)1<0f\left(0\right)\approx-1<0. Il en résulte donc que :
    c<0c<0
  • Question 3

    Correction
  • La parabole est tournée vers le haut , ce qui signifie que :
    a>0a>0
  • La parabole est tangent avec l'axe des abscisses, c'est à dire qu'elle ne passe une seule fois par l'axe des abscisses. Ce qui signifie que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une racine réelle. Il en résulte donc que :
    Δ=0\Delta=0
  • Pour déterminer le signe de cc, il nous suffit de déterminer le signe de l'image de 00 par ff. On lit facilement ici que f(0)>0f\left(0\right)>0. Il en résulte donc que :
    c>0c>0
  • Question 4

    Correction
  • La parabole est tournée vers le haut , ce qui signifie que :
    a>0a>0
  • La parabole ne passe pas par l'axe des abscisses. Ce qui signifie que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'admet pas de racines réelles. Il en résulte donc que :
    Δ<0\Delta<0
  • Pour déterminer le signe de cc, il nous suffit de déterminer le signe de l'image de 00 par ff. On lit facilement ici que f(0)0,5>0f\left(0\right)\approx0,5>0. Il en résulte donc que :
    c>0c>0
  • Question 5

    Correction
  • La parabole est tournée vers le bas , ce qui signifie que :
    a<0a<0
  • La parabole passe par deux fois par l'axe des abscisses. Ce qui signifie que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux racines réelles distinctes. Il en résulte donc que :
    Δ>0\Delta>0
  • Pour déterminer le signe de cc, il nous suffit de déterminer le signe de l'image de 00 par ff. On lit facilement ici que f(0)3,8<0f\left(0\right)\approx-3,8<0. Il en résulte donc que :
    c<0c<0