Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Rechercher une racine évidente d'un polynôme du second degré - Exercice 1

5 min
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Question 1
Pour chacune des fonctions polynômes du second degré suivantes, rechercher une racine\red{\text{racine}} évidente.

f(x)=x2+3x−4f\left(x\right)=x^{2}+3x-4

Correction
Les solutions simples\red{\text{solutions simples}} d'une équation sont également appelées des racines eˊvidentes.\red{\text{racines évidentes.}}
En pratique, on observe que −2-2 ; −1-1 , 11, et 22 peuvent être considérées comme des racines évidentes. Si l'on remplace xx par une de ces quatre valeurs on obtiendra f(x)=0f\left(x\right)=0
Dans notre situation, si l'on remplace xx par 11, on obtient :
f(1)=12+3×1−4f\left(1\right)=1^{2}+3\times 1-4
f(1)=1+3−4f\left(1\right)=1+3-4
Ainsi :
f(1)=0f\left(1\right)=0

Finalement 11 est bien une racine évidente de ff.
Question 2

f(x)=x2+3x−10f\left(x\right)=x^{2}+3x-10

Correction
Les solutions simples\red{\text{solutions simples}} d'une équation sont également appelées des racines eˊvidentes.\red{\text{racines évidentes.}}
En pratique, on observe que −2-2 ; −1-1 , 11, et 22 peuvent être considérées comme des racines évidentes. Si l'on remplace xx par une de ces quatre valeurs on obtiendra f(x)=0f\left(x\right)=0
Dans notre situation, si l'on remplace xx par 22, on obtient :
f(2)=22+3×2−10f\left(2\right)=2^{2}+3\times 2-10
f(2)=4+6−10f\left(2\right)=4+6-10
Ainsi :
f(2)=0f\left(2\right)=0

Finalement 22 est bien une racine évidente de ff.
Question 3

f(x)=x3−x2+x−1f\left(x\right)=x^{3}-x^{2}+x-1

Correction
Les solutions simples\red{\text{solutions simples}} d'une équation sont également appelées des racines eˊvidentes.\red{\text{racines évidentes.}}
En pratique, on observe que −2-2 ; −1-1 , 11, et 22 peuvent être considérées comme des racines évidentes. Si l'on remplace xx par une de ces quatre valeurs on obtiendra f(x)=0f\left(x\right)=0
Dans notre situation, si l'on remplace xx par 11, on obtient :
f(1)=13−12+1−1f\left(1\right)=1^{3}-1^{2}+1-1
f(1)=1−1+1−1f\left(1\right)=1-1+1-1
Ainsi :
f(1)=0f\left(1\right)=0

Finalement 11 est bien une racine évidente de ff.
Question 4

f(x)=2x2+5x+3f\left(x\right)=2x^{2}+5x+3

Correction
Les solutions simples\red{\text{solutions simples}} d'une équation sont également appelées des racines eˊvidentes.\red{\text{racines évidentes.}}
En pratique, on observe que −2-2 ; −1-1 , 11, et 22 peuvent être considérées comme des racines évidentes. Si l'on remplace xx par une de ces quatre valeurs on obtiendra f(x)=0f\left(x\right)=0
Dans notre situation, si l'on remplace xx par −1-1, on obtient :
f(−1)=2×(−1)2+5×(−1)+3f\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)^{2}+5\times\left(-1\right)+3
f(−1)=2×1−5+3f\left(-1\right)=2\times1-5+3
f(−1)=2−5+3f\left(-1\right)=2-5+3
Ainsi :
f(−1)=0f\left(-1\right)=0

Finalement −1-1 est bien une racine évidente de ff.