Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Position relative entre deux courbes - Exercice 3

15 min
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Question 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right).
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2+xf\left(x\right)=2x^{2}+x et on note Cf\mathscr{C}_{f} sa représentation graphique.
On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2+5x+15g\left(x\right)=-x^{2}+5x+15 et on note Cg\mathscr{C}_{g} sa représentation graphique.

Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersections des paraboles Cf\mathscr{C}_{f} et Cg\mathscr{C}_{g}.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation : f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right)
f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right) équivaut successivement à :
2x2+x=x2+5x+152x^{2}+x=-x^{2}+5x+15
2x2+x+x25x15=02x^{2}+x+x^{2}-5x-15=0
3x24x15=03x^{2}-4x-15=0 . Il s'agit d'une équation du second degré que nous allons résoudre avec le discriminant.
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=3a=3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=4b=-4
  • c=c= nombre seul d'où c=15c=-15

2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(4)24×3×(15)\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times 3\times \left(-15\right)
Δ=196\Delta =196
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(4)1962×3x{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{196} }{2\times 3} d'où x1=53x{}_{1} =-\frac{5}{3}
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(4)+1962×3x{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{196} }{2\times 3} d'où x2=3x{}_{2} =3
Les racines de l'équation f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right) sont donc S={53;3}S=\left\{-\frac{5}{3};3\right\} . Il s'agit des abscisses des points qui vérifient f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right) .
Pour obtenir les ordonnées des points, il faut calculer par exemple f(53)f\left(-\frac{5}{3}\right) et f(3)f\left(3\right).
Ainsi :
f(53)=2×(53)2+(53)=359f\left(-\frac{5}{3}\right)=2\times\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{35}{9}
f(3)=2×32+3=21f\left(3\right)=2\times3^{2}+3=21
Les paraboles Cf\mathscr{C}_{f} et Cg\mathscr{C}_{g} se coupent en deux points A(53;359)A\left(-\frac{5}{3};\frac{35}{9}\right) et B(3;21)B\left(3;21\right).
Question 2

Déterminer par le calcul la position relative des Cf\mathscr{C}_{f} et Cg\mathscr{C}_{g}.

Correction
Etudier dans R\mathbb{R} le signe de f(x)g(x)f(x) -g(x).
f(x)g(x)=2x2+x(x2+5x+15)f(x) -g(x) = 2x^{2}+x-\left(-x^{2}+5x+15\right)
f(x)g(x)=2x2+x+x25x15f(x) -g(x) =2x^{2}+x+x^{2}-5x-15
f(x)g(x)=3x24x15f(x) -g(x) =3x^{2}-4x-15
Nous reconnaissons l'équation présente à la question 11 dont nous connaissons les racines x1=53x{}_{1} =-\frac{5}{3} et x1=3x{}_{1} =3
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
  • Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
  • Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=3>0a=3>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors que :
  • Sur l'intervalle ]53;3[\left]-\frac{5}{3} ;3\right[ nous avons 3x24x15<03x^{2}-4x-15<0 autrement dit f(x)g(x)<0f(x)- g(x)<0 ou encore f(x)<g(x)f(x) <g(x) .Cela signifie que la courbe Cf\mathscr{C}_{f} est strictement en dessous de la courbe Cg\mathscr{C}_{g}.
  • Sur l'intervalle ];53[]3;+[\left]-\infty ;-\frac{5}{3} \right[\cup \left]3;+\infty \right[, nous avons 3x24x15>03x^{2}-4x-15>0 autrement dit f(x)g(x)>0f(x)- g(x)>0 ou encore f(x)>g(x)f(x) >g(x) .Cela signifie que la courbe Cf\mathscr{C}_{f} est strictement au dessus de la courbe Cg\mathscr{C}_{g}.
  • Aux points d'abscisses x=53x=-\frac{5}{3} et x=3x=3 les courbes Cf\mathscr{C}_{f} et Cg\mathscr{C}_{g} sont sécantes.