Position relative entre deux courbes - Exercice 3

Il nous faut résoudre l'équation : $$f\left(x\right)=g\left(x\right)$$
$$f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$2x^{2}+x=-x^{2}+5x+15$$
$$2x^{2}+x+x^{2}-5x-15=0$$
$$3x^{2}-4x-15=0$$ . Il s'agit d'une équation du second degré que nous allons résoudre avec le discriminant.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-4$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-15$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times 3\times \left(-15\right)$$
$$\Delta =196$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{196} }{2\times 3}$$ d'où $$x{}_{1} =-\frac{5}{3}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{196} }{2\times 3}$$ d'où $$x{}_{2} =3$$
Les racines de l'équation $$f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ sont donc $$S=\left\{-\frac{5}{3};3\right\}$$ . Il s'agit des abscisses des points qui vérifient $$f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ .
Pour obtenir les ordonnées des points, il faut calculer par exemple $$f\left(-\frac{5}{3}\right)$$ et $$f\left(3\right)$$.
Ainsi :
$$f\left(-\frac{5}{3}\right)=2\times\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{35}{9}$$
$$f\left(3\right)=2\times3^{2}+3=21$$
Les paraboles $$\mathscr{C}_{f}$$ et $$\mathscr{C}_{g}$$ se coupent en deux points $$A\left(-\frac{5}{3};\frac{35}{9}\right)$$ et $$B\left(3;21\right)$$.

Etudier dans $$\mathbb{R}$$ le signe de $$f(x) -g(x)$$.
$$f(x) -g(x) = 2x^{2}+x-\left(-x^{2}+5x+15\right)$$
$$f(x) -g(x) =2x^{2}+x+x^{2}-5x-15$$
$$f(x) -g(x) =3x^{2}-4x-15$$
Nous reconnaissons l'équation présente à la question $$1$$ dont nous connaissons les racines $$x{}_{1} =-\frac{5}{3}$$ et $$x{}_{1} =3$$
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :

• Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
• Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

Sur l'intervalle $$\left]-\frac{5}{3} ;3\right[$$ nous avons $$3x^{2}-4x-15<0$$ autrement dit $$f(x)- g(x)<0$$ ou encore $$f(x) <g(x)$$ .Cela signifie que la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ est strictement en dessous de la courbe $$\mathscr{C}_{g}$$.

Sur l'intervalle $$\left]-\infty ;-\frac{5}{3} \right[\cup \left]3;+\infty \right[$$, nous avons $$3x^{2}-4x-15>0$$ autrement dit $$f(x)- g(x)>0$$ ou encore $$f(x) >g(x)$$ .Cela signifie que la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ est strictement au dessus de la courbe $$\mathscr{C}_{g}$$.

Aux points d'abscisses $$x=-\frac{5}{3}$$ et $$x=3$$ les courbes $$\mathscr{C}_{f}$$ et $$\mathscr{C}_{g}$$ sont sécantes.