Position relative entre deux courbes - Exercice 2

Nous allons étudier dans $$\mathbb{R}$$ le signe de la fonction : $$d\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$$.
Ainsi :
$$d\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$d\left(x\right)=-x^{2}+2x+1-\left(4x+2\right)$$
$$d\left(x\right)=-x^{2}+2x+1-4x-2$$
$$d\left(x\right)=-x^{2}-2x-1$$
Nous allons maintenant étudier le signe du trinôme du second degré.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-1$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-2\right)^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1\right)$$
$$\Delta =4-4=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-\left(-2\right)}{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x{}_{0} =-1$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ et que nous connaissons la racine $$x{}_{0}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.
• Si $$a<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, $$a=-1<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$-1$$.
Il vient alors que :
Sur l'intervalle $$\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$$ nous avons $$-x^{2}-2x-1<0$$ autrement dit $$f(x)- g(x)<0$$ ou encore $$f(x) <g(x)$$ .Cela signifie que la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ est en dessous de la droite $$D$$.
Au point d'abscisse $$x=-1$$ la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ et la droite $$D$$ sont sécantes.