Le plan est muni d’un repère orthonormal (0;i;j). On considère la fonction f définie sur R par f(x)=−2(x+3)2+5 et Cf sa courbe représentative dans le repère (0;i;j).
Question 1
Partie A
Dresser le tableau de variations de f sur R. Justifier.
Correction
La forme canonique d'un trinôme du second degré est : f(x)=a(x−α)2+β où S(α;β) correspond au sommet de la parabole. Si a>0 alors le tableau de variation de f est :
Si a<0 alors le tableau de variation de f est :
A l'aide de la forme canonique, on détermine facilement le sommet de la parabole. Comme : f(x)=−2(x+3)2+5 On note S(xS;yS) le sommet de la parabole. Ici, nous avons a=−2, xS=−3 et yS=5. a<0, la parabole est tournée vers le bas et S(−3;5) est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum). Le tableau de variation est alors :
Question 2
Déterminer les coordonnées des points d'intersections de Cf avec la droite d d'équation y=3.
Correction
Pour déterminer les coordonnées des points d'intersections de Cf avec la droite d d'équation y=3, il nous faut résoudre l'équation f(x)=3. Il vient alors que : −2(x+3)2+5=3 équivaut successivement à : −2(x2+6x+9)+5=3 −2x2−12x−18+5=3 −2x2−12x−13=3 −2x2−12x−13−3=0 −2x2−12x−16=0 . Il s'agit d'une équation du second degré que nous allons résoudre avec le discriminant. 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−2
b= nombre devant x d'où b=−12
c= nombre seul d'où c=−16
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−12)2−4×(−2)×(−16) Δ=144−128=16 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−2)−(−12)−16 d'où x1=−2 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−2)−(−12)+16 d'où x2=−4 Les racines de l'équation f(x)=3 sont donc S={−4;−2} . Il s'agit des abscisses des points qui vérifient f(x)=3 . Il en résulte que les coordonnées des points d'intersections de Cf avec la droite d d'équation y=3 sont les points A et B de coordonnées A(−2;3) et B(−4;3).
Question 3
Partie B On considère la fonction g définie sur R par g(x)=x2+x+1 et Cg sa courbe représentative dans le repère (0;i;j).
Etudier dans R le signe de f(x)−g(x).
Correction
On sait que la forme canonique de f est f(x)=−2(x+3)2+5 et la forme développée de f est alors : f(x)=−2x2−12x−13. Ainsi : f(x)−g(x) équivaut successivement à : f(x)−g(x)=−2x2−12x−13−(x2+x+1) f(x)−g(x)=−2x2−12x−13−x2−x−1 f(x)−g(x)=−3x2−13x−14 . Nous allons maintenant étudier le signe du trinôme du second degré. 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−3
b= nombre devant x d'où b=−13
c= nombre seul d'où c=−14
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−13)2−4×(−3)×(−14) Δ=169−168=1 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction f admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−3)−(−13)−1 d'où x1=−2 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−3)−(−13)+1 d'où x2=3−7 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau du trinôme du second degré va dépendre du signe de a.
Si a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Si a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Il en résulte donc que : Dans notre situation, nous avons a=−3<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. On en déduit le tableau de signe suivant :
Question 4
Que peut-on en déduire sur la position relative des courbes Cf et Cg ?
Correction
Sur l'intervalle ]−37;−2[ nous avons −3x2−13x−14>0 autrement dit f(x)−g(x)>0 ou encore f(x)>g(x) .Cela signifie que la courbe Cf est strictement au-dessus de la courbe Cg.
Sur l'intervalle ]−∞;−37[∪]−2;+∞[, nous avons −3x2−13x−14<0 autrement dit f(x)−g(x)<0 ou encore f(x)<g(x) .Cela signifie que la courbe Cf est strictement en dessous de la courbe Cg.
Aux points d'abscisses x=−2 et x=−37 les courbes Cf et Cg sont sécantes.