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Position relative entre deux courbes - Exercice 1

20 min
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Le plan est muni d’un repère orthonormal (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right).
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2(x+3)2+5f(x)=-2(x+3)^{2}+5 et Cf\mathscr{C_{f}} sa courbe représentative dans le repère (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right).
Question 1
Partie A

Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.
Justifier.

Correction
La forme canonique d'un trinôme du second degré est :
f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0a>0 alors le tableau de variation de ff est :

Si a<0a<0 alors le tableau de variation de ff est :

A l'aide de la forme canonique, on détermine facilement le sommet de la parabole.
Comme : f(x)=2(x+3)2+5f(x)=-2(x+3)^{2}+5
On note S(xS;yS)S\left(x_{S} ;y_{S} \right) le sommet de la parabole.
Ici, nous avons a=2a=-2, xS=3x_{S} =-3 et yS=5y_{S} =5.
a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et S(3;5)S\left(-3;5\right) est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).
Le tableau de variation est alors :

Question 2

Déterminer les coordonnées des points d'intersections de Cf\mathscr{C_{f}} avec la droite dd d'équation y=3y=3.

Correction
Pour déterminer les coordonnées des points d'intersections de Cf\mathscr{C_{f}} avec la droite dd d'équation y=3y=3, il nous faut résoudre l'équation f(x)=3f\left(x\right)=3.
Il vient alors que :
2(x+3)2+5=3-2(x+3)^{2}+5=3 équivaut successivement à :
2(x2+6x+9)+5=3-2\left(x^{2} +6x+9\right)+5=3
2x212x18+5=3-2x^{2} -12x-18+5=3
2x212x13=3-2x^{2} -12x-13=3
2x212x133=0-2x^{2} -12x-13-3=0
2x212x16=0-2x^{2} -12x-16=0 . Il s'agit d'une équation du second degré que nous allons résoudre avec le discriminant.
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=-2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=12b=-12
  • c=c= nombre seul d'où c=16c=-16

2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(12)24×(2)×(16)\Delta =\left(-12\right)^{2} -4\times \left(-2\right)\times \left(-16\right)
Δ=144128=16\Delta =144-128=16
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(12)162×(2)x{}_{1} =\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{16} }{2\times \left(-2\right)} d'où x1=2x{}_{1} =-2
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(12)+162×(2)x{}_{2} =\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{16} }{2\times \left(-2\right)} d'où x2=4x{}_{2} =-4
Les racines de l'équation f(x)=3f\left(x\right)=3 sont donc S={4;2}S=\left\{-4;-2\right\} . Il s'agit des abscisses des points qui vérifient f(x)=3f\left(x\right)=3 .
Il en résulte que les coordonnées des points d'intersections de Cf\mathscr{C_{f}} avec la droite dd d'équation y=3y=3 sont les points AA et BB de coordonnées A(2;3)A\left(-2;3\right) et B(4;3)B\left(-4;3\right).
Question 3
Partie B
On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2+x+1g(x)=x^{2}+x+1 et Cg\mathscr{C_{g}} sa courbe représentative dans le repère (0;i;j)\left(0;\vec{i};\vec{j}\right).

Etudier dans R\mathbb{R} le signe de f(x)g(x)f(x) -g(x).

Correction
On sait que la forme canonique de ff est f(x)=2(x+3)2+5f(x)=-2(x+3)^{2}+5 et la forme développée de ff est alors : f(x)=2x212x13f(x)=-2x^{2}-12x-13.
Ainsi :
f(x)g(x)f(x) - g(x) équivaut successivement à :
f(x)g(x)=2x212x13(x2+x+1)f(x) - g(x)=-2x^{2}-12x-13-\left(x^{2}+x+1\right)
f(x)g(x)=2x212x13x2x1f(x) - g(x)=-2x^{2}-12x-13-x^{2}-x-1
f(x)g(x)=3x213x14f(x) - g(x)=-3x^{2}-13x-14 . Nous allons maintenant étudier le signe du trinôme du second degré.
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=3a=-3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=13b=-13
  • c=c= nombre seul d'où c=14c=-14
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(13)24×(3)×(14)\Delta =\left(-13\right)^{2} -4\times \left(-3\right)\times \left(-14\right)
Δ=169168=1\Delta =169-168=1
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction ff admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(13)12×(3)x_{1} =\frac{-\left(-13\right)-\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)} d'où x1=2x_{1} =-2
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(13)+12×(3)x_{2} =\frac{-\left(-13\right)+\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)} d'où x2=73x_{2} =\frac{-7}{3}
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , le tableau du trinôme du second degré va dépendre du signe de aa.
  • Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
  • Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, nous avons a=3<0a=-3<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines. On en déduit le tableau de signe suivant :
Question 4

Que peut-on en déduire sur la position relative des courbes Cf\mathscr{C_{f}} et Cg\mathscr{C_{g}} ?

Correction
  • Sur l'intervalle ]73;2[\left]-\frac{7}{3} ;-2\right[ nous avons 3x213x14>0-3x^{2}-13x-14>0 autrement dit f(x)g(x)>0f(x)- g(x)>0 ou encore f(x)>g(x)f(x) >g(x) .Cela signifie que la courbe Cf\mathscr{C_{f}} est strictement au-dessus de la courbe Cg\mathscr{C_{g}}.
  • Sur l'intervalle ];73[]2;+[\left]-\infty ;-\frac{7}{3} \right[\cup \left]-2;+\infty \right[, nous avons 3x213x14<0-3x^{2}-13x-14<0 autrement dit f(x)g(x)<0f(x)- g(x)<0 ou encore f(x)<g(x)f(x) <g(x) .Cela signifie que la courbe Cf\mathscr{C_{f}} est strictement en dessous de la courbe Cg\mathscr{C_{g}}.
  • Aux points d'abscisses x=2x=-2 et x=73x= -\frac{7}{3} les courbes Cf\mathscr{C_{f}} et Cg\mathscr{C_{g}} sont sécantes.