Factoriser dans $$\mathbb{R}$$, à l’aide du discriminant $$\Delta$$, une équation du second degré - Exercice 1

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-7$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=6$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times 1\times 6$$
$$\Delta =49-24=25$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{25} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =6$$
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, alors la factorisation est de la forme $$a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)$$.
Il en résulte que :
$$f\left(x\right)=x^{2} -7x+6=1\times \left(x-1\right)\times \left(x-6\right)$$
Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=6$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-8$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =6^{2} -4\times 2\times \left(-8\right)$$
$$\Delta =36+64=100$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-6-\sqrt{100} }{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{1} =-4$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-6+\sqrt{100} }{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{2} =1$$
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, alors la factorisation est de la forme $$a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)$$.
Il en résulte que :
$$f\left(x\right)=2x^{2} +6x-8=2\left(x-\left(-4\right)\right)\left(x-1\right)$$
Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=4$$
• $$c=$$n ombre seul d'où $$c=-4$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =4^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-4\right)$$
$$\Delta =16-16=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors la fonction $$f$$ admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-4}{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x{}_{0} =2$$
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta =0$$ et que nous connaissons la racine $$x{}_{0}$$, alors la factorisation est de la forme $$a\left(x-x_{0} \right)^{2}$$.
Il en résulte que :
$$f\left(x\right)=-x^{2} +4x-4=-\left(x-2\right)^{2}$$
Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=8$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-1\right)^{2} -4\times 2\times 8$$
$$\Delta =1-64=-63$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$ alors la fonction $$f$$ n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation $$2x^{2} +3x+10=0$$ car $$\Delta <0$$.
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta <0$$, on ne peut pas factoriser la fonction $$f$$ dans $$\mathbb{R}$$.

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=6$$
• $$c=$$n ombre seul d'où $$c=-3$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =6^{2} -4\times \left(-3\right)\times \left(-3\right)$$
$$\Delta =36-36=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors la fonction $$f$$ admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-6}{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x{}_{0} =1$$
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta =0$$ et que nous connaissons la racine $$x{}_{0}$$, alors la factorisation est de la forme $$a\left(x-x_{0} \right)^{2}$$.
Il en résulte que :
$$f\left(x\right)=-3x^{2} +6x-3=-3\left(x-1\right)^{2}$$
Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-4$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-8$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =12^{2} -4\times \left(-4\right)\times \left(-8\right)$$
$$\Delta =144-128=16$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-12-\sqrt{16} }{2\times \left(-4\right)}$$ d'où $$x{}_{1} =2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-12+\sqrt{16} }{2\times \left(-4\right)}$$ d'où $$x{}_{2} =1$$
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, alors la factorisation est de la forme $$a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)$$.
Il en résulte que :
$$f\left(x\right)=-4x^{2} +12x+8=-4\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$
Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :