Exercices types : $$7$$^ème partie - Exercice 2

$$C\left(0\right)=0^{2}+3\times 0+20$$ d'où
Même sans produire de lampe, l'atelier a $$20\,000$$ euros de frais par mois : ce sont les coûts fixes (loyer, machines…).

Une centaine de lampes rapporte $$15\,000$$ euros, soit $$15$$ milliers d'euros, donc $$x$$ centaines rapportent :

Le bénéfice est la recette moins le coût. Pour tout $$x\in\left[0;12\right]$$, $$B\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$$
$$B\left(x\right)=15x-\left(x^{2}+3x+20\right)$$
$$B\left(x\right)=15x-x^{2}-3x-20$$
Ainsi :

Développons le membre de droite. Pour tout réel $$x$$ :
$$-\left(x-2\right)\left(x-10\right)=-\left(x^{2}-10x-2x+20\right)$$
$$-\left(x-2\right)\left(x-10\right)=-\left(x^{2}-12x+20\right)$$
$$-\left(x-2\right)\left(x-10\right)=-x^{2}+12x-20$$
Ainsi :

D'après la question précédente, $$B\left(x\right)=-\left(x-2\right)\left(x-10\right)$$ : le trinôme $$B\left(x\right)$$ admet deux racines réelles distinctes $$x_{1}=2$$ et $$x_{2}=10$$. Le tableau de signe dépend alors du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=-1\lt 0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$B\left(x\right)$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

L'atelier réalise un bénéfice lorsque $$B\left(x\right)\gt 0$$. D'après le tableau de signe, c'est le cas pour $$x\in\left]2;10\right[$$.
Ainsi :

On note $$S\left(x_{S};y_{S}\right)$$ le sommet de la parabole. Ici $$a=-1$$ et $$b=12$$, donc :
$$x_{S}=\alpha=\dfrac{-b}{2a}$$ ainsi $$x_{S}=\dfrac{-12}{2\times\left(-1\right)}$$ d'où $$x_{S}=6$$
$$y_{S}=\beta=B\left(\alpha\right)$$ ainsi $$y_{S}=B\left(6\right)=-6^{2}+12\times 6-20=-36+72-20$$ d'où $$y_{S}=16$$
$$a\lt 0$$, la parabole est tournée vers le bas et $$S\left(6;16\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).
Aux bornes : $$B\left(0\right)=-20$$ et $$B\left(12\right)=-144+144-20=-20$$.
Le tableau de variation est alors :

D'après le tableau de variation, le maximum de $$B$$ est atteint pour $$x=6$$ et vaut $$B\left(6\right)=16$$.
Ainsi :

$$7\,000$$ euros correspondent à $$7$$ milliers d'euros : on résout $$B\left(x\right)\geqslant 7$$, qui équivaut successivement à :
$$-x^{2}+12x-20\geqslant 7$$
$$-x^{2}+12x-27\geqslant 0$$
$$x^{2}-12x+27\leqslant 0$$ (on multiplie par $$-1$$ : le sens de l'inégalité change)
Nous allons donc étudier le signe du trinôme $$x^{2}-12x+27$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=27$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-12\right)^{2}-4\times 1\times 27$$
$$\Delta=144-108=36$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{1}=\dfrac{-\left(-12\right)-\sqrt{36}}{2\times 1}$$ d'où $$x_{1}=3$$
$$x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{2}=\dfrac{-\left(-12\right)+\sqrt{36}}{2\times 1}$$ d'où $$x_{2}=9$$
4^ème étape : Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$ : le trinôme $$x^{2}-12x+27$$ est du signe opposé à $$a$$ entre les racines, donc négatif ou nul pour $$x\in\left[3;9\right]$$.Ainsi :