Exercices types : $$6$$^ème partie - Exercice 2

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-7$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=3$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 3$$
$$\Delta=49-24=25$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{1}=\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{25}}{2\times 2}$$ d'où $$x_{1}=\dfrac{1}{2}$$
$$x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{2}=\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{25}}{2\times 2}$$ d'où $$x_{2}=3$$
Les solutions de l'équation $$2x^{2}-7x+3=0$$ sont donc :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=4$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=9$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9$$
$$\Delta=144-144=0$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta=0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x_{0}$$ telle que :
$$x_{0}=\dfrac{-b}{2a}$$ ainsi $$x_{0}=\dfrac{-\left(-12\right)}{2\times 4}$$ d'où $$x_{0}=\dfrac{3}{2}$$
Les solutions de l'équation $$4x^{2}-12x+9=0$$ sont donc : Remarque : on pouvait aussi reconnaître une identité remarquable : $$4x^{2}-12x+9=\left(2x-3\right)^{2}$$.

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=5$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 5$$
$$\Delta=4-60=-56$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\lt 0$$ alors l'équation n'admet aucune racine réelle.
Les solutions de l'équation $$3x^{2}-2x+5=0$$ sont donc :

Inutile de développer : on fait apparaître une différence de deux carrés. $$\left(3x+2\right)^{2}=16$$ équivaut successivement à :
$$\left(3x+2\right)^{2}-4^{2}=0$$
$$\left(3x+2-4\right)\left(3x+2+4\right)=0$$
$$\left(3x-2\right)\left(3x+6\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$3x-2=0$$ ce qui nous donne $$x=\dfrac{2}{3}$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$3x+6=0$$ ce qui nous donne $$x=-2$$
Les solutions de l'équation $$\left(3x+2\right)^{2}=16$$ sont alors :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=3$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-4$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=3^{2}-4\times\left(-2\right)\times\left(-4\right)$$
$$\Delta=9-32=-23$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\lt 0$$ alors le trinôme n'admet aucune racine réelle.
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\lt 0$$, le trinôme est toujours du signe de $$a$$. Dans notre situation, $$a=-2\lt 0$$, la parabole est tournée vers le bas : le trinôme est strictement négatif sur $$\mathbb{R}$$.
Il vient alors que :Les solutions de l'inéquation $$-2x^{2}+3x-4\lt 0$$ sont alors :

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-3$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-10$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times\left(-10\right)$$
$$\Delta=9+40=49$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{1}=\dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{49}}{2\times 1}$$ d'où $$x_{1}=-2$$
$$x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{2}=\dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{49}}{2\times 1}$$ d'où $$x_{2}=5$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ et que nous connaissons les racines $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le trinôme est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :D'après le tableau de signe, on peut résoudre l'inéquation $$x^{2}-3x-10\geqslant 0$$.
Les solutions sont alors :

On se ramène à une comparaison à $$0$$ : $$2x^{2}\leqslant x+6$$ équivaut à $$2x^{2}-x-6\leqslant 0$$.
Nous allons donc étudier le signe du trinôme $$2x^{2}-x-6$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-6$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-1\right)^{2}-4\times 2\times\left(-6\right)$$
$$\Delta=1+48=49$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors le trinôme admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{1}=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{49}}{2\times 2}$$ d'où $$x_{1}=-\dfrac{3}{2}$$
$$x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$x_{2}=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{49}}{2\times 2}$$ d'où $$x_{2}=2$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ et que nous connaissons les racines $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=2\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le trinôme est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :D'après le tableau de signe, on peut résoudre l'inéquation $$2x^{2}-x-6\leqslant 0$$.
Les solutions sont alors :

Remplaçons $$x$$ par $$1$$ dans le membre de gauche :
$$3\times 1^{2}+4\times 1-7=3+4-7=0$$
Ainsi :

On note $$x_{1}=1$$ et $$x_{2}$$ l'autre solution. Ici $$a=3$$, $$b=4$$ et $$c=-7$$.
Le produit des racines vaut $$x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}$$ ainsi $$1\times x_{2}=\dfrac{-7}{3}$$ d'où Vérification avec la somme : $$x_{1}+x_{2}=1-\dfrac{7}{3}=-\dfrac{4}{3}$$ et $$-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{3}$$.

Comme $$x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2}$$, l'équation $$(E)$$ équivaut successivement à :
$$\left(x^{2}\right)^{2}-10x^{2}+9=0$$
$$X^{2}-10X+9=0$$ en posant $$X=x^{2}$$.
Ainsi :
C'est une équation du second degré d'inconnue $$X$$.

Résolvons l'équation $$X^{2}-10X+9=0$$.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$X^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$X$$ d'où $$b=-10$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=9$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=\left(-10\right)^{2}-4\times 1\times 9$$
$$\Delta=100-36=64$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$X_{1}$$ et $$X_{2}$$ telles que :
$$X_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$X_{1}=\dfrac{-\left(-10\right)-\sqrt{64}}{2\times 1}$$ d'où $$X_{1}=1$$
$$X_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ ainsi $$X_{2}=\dfrac{-\left(-10\right)+\sqrt{64}}{2\times 1}$$ d'où $$X_{2}=9$$
On revient à l'inconnue $$x$$ :
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$x^{2}=1$$ ce qui nous donne $$x=-1$$ ou $$x=1$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$x^{2}=9$$ ce qui nous donne $$x=-3$$ ou $$x=3$$
Les solutions de l'équation $$(E)$$ sont alors :

Ici $$a=1$$, $$b=m$$ et $$c=9$$.
Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi : $$\Delta=m^{2}-4\times 1\times 9$$ d'où

L'équation admet une unique solution (une racine double) lorsque $$\Delta=0$$.
$$\Delta=0$$ équivaut successivement à :
$$m^{2}-36=0$$
$$\left(m-6\right)\left(m+6\right)=0$$. Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$m-6=0$$ ce qui nous donne $$m=6$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$m+6=0$$ ce qui nous donne $$m=-6$$
La racine double est alors $$x_{0}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-m}{2}$$ :

• pour $$m=6$$ : $$x_{0}=\dfrac{-6}{2\times 1}$$ d'où $$x_{0}=-3$$ ;
• pour $$m=-6$$ : $$x_{0}=\dfrac{-\left(-6\right)}{2\times 1}$$ d'où $$x_{0}=3$$.

Ainsi :

L'équation n'admet aucune solution réelle lorsque $$\Delta\lt 0$$, c'est-à-dire $$m^{2}-36\lt 0$$.
$$m^{2}-36$$ est un trinôme du second degré d'inconnue $$m$$ qui admet deux racines réelles distinctes $$m_{1}=-6$$ et $$m_{2}=6$$ (question précédente). Le tableau de signe dépend alors du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=1\gt 0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que le trinôme $$m^{2}-36$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :D'après le tableau de signe, $$m^{2}-36\lt 0$$ entre les racines.
Ainsi :