Exercices types : $$5$$^ème partie - Exercice 1

Nous cherchons tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs.
Notons $$x$$ la longueur du plus petit côté. Les trois côtés du triangle ont alors pour longueurs : $$x$$, $$x+1$$ et $$x+2$$ car les mesures des côtés sont des entiers consécutifs.
$$x$$ est un entier, donc le plus grand côté est $$x+2$$, il s'agit donc de l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore :
$$x^2+\left(x+1\right)^2=\left(x+2\right)^2$$.
Développons cette égalité :
$$x^2+x^2+2x+1=x^2+4x+4$$
Ainsi :
$$2x^2+2x+1=x^2+4x+4$$
$$x^2-2x-3=0$$
Nous devons résoudre l'équation :
$$x^2-2x-3=0$$
$$a=1$$, $$b=-2$$ et $$c=-3$$.
Calculons le discriminant $$\Delta$$. Ainsi :
$$\Delta=\left(-2\right)^2-4\times 1\times \left(-3\right)=16$$
Comme $$\Delta>0$$, l'équation admet deux racines réelles distinctes $$x_1$$ et $$x_2$$ données par :
$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
D'où :
$$x_1=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times 1}$$ et $$x_2=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times 1}$$
$$x_1=\frac{2-4}{2}$$ et $$x_2=\frac{2+4}{2}$$
$$x_1=-1$$ et $$x_2=3$$
Comme $$x$$ représente une longueur, il doit être strictement positif. La racine $$x=-1$$ n'est donc pas possible.
Finalement : $$x=3$$
Les trois côtés du triangle sont alors : $$3$$, $$4$$ et $$5$$.