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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 55ème partie - Exercice 1

15 min
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Quelles sont les phrases synonymes de : " 33 est une racine du trinôme f(x)=2x28x+6f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6"
Question 1

33 est l'image de 00 par le trinôme ff.

Correction
Nous devons calculer f(0)f\left(0\right) et nous devons obtenir 33.
Or ici f(0)=6f\left(0\right)=6.
La phrase 33 est l'image de 00 par le trinôme ff n'est pas synonyme de " 33 est une racine du trinôme f(x)=2x28x+6f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6".
Question 2

00 est l'image de 33 par le trinôme ff.

Correction
Calculons f(3)f\left(3\right) et on doit obtenir 00.
Or ici, f(3)=2×328×3+6=0f\left(3\right)=2\times 3^{2} -8\times 3+6=0
La phrase 00 est l'image de 33 par le trinôme ff est synonyme de " 33 est une racine du trinôme f(x)=2x28x+6f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6 "
Question 3

Le point de coordonnées (3;0)\left(3;0\right) appartient à la courbe représentative du trinôme ff.

Correction
Le point de coordonnées (3;0)\left(3;0\right) s'exprime également par f(3)=0f\left(3\right)=0 et on a vu à la question précédente que cela était vraie.
Le point de coordonnées (3;0)\left(3;0\right) appartient à la courbe représentative du trinôme ff est synonyme de " 33 est une racine du trinôme f(x)=2x28x+6f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6".
Question 4

Le trinôme ff est factorisable par x+3x+3.

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=-8
  • c=c= nombre seul d'où c=6c=6
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(8)24×2×6\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 2\times 6
Δ=6448=16\Delta =64-48=16
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction ff admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(8)162×2x{}_{1} =\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{16} }{2\times 2} d'où x1=1x{}_{1} =1
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(8)+162×2x{}_{2} =\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{16} }{2\times 2} d'où x2=3x{}_{2} =3
4ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation est de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
Il en résulte que :
f(x)=2x28x+6=2×(x1)×(x3)f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6=2\times \left(x-1\right)\times \left(x-3\right)
Ainsi, la forme factorisée de ff est :
f(x)=2(x1)×(x3)f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\times \left(x-3\right)

Donc ff est factorisable par x1x-1 et par x3x-3.
Finalement, la phrase Le trinôme ff est factorisable par x+3x+3 n'est pas synonyme de " 33 est une racine du trinôme f(x)=2x28x+6f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6".