Exercices types : $$5$$^ème partie - Exercice 1

Nous devons calculer $$f\left(0\right)$$ et nous devons obtenir $$3$$.
Or ici $$f\left(0\right)=6$$.
La phrase $$3$$ est l'image de $$0$$ par le trinôme $$f$$ n'est pas synonyme de " $$3$$ est une racine du trinôme $$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6$$".

Calculons $$f\left(3\right)$$ et on doit obtenir $$0$$.
Or ici, $$f\left(3\right)=2\times 3^{2} -8\times 3+6=0$$
La phrase $$0$$ est l'image de $$3$$ par le trinôme $$f$$ est synonyme de " $$3$$ est une racine du trinôme $$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6$$ "

Le point de coordonnées $$\left(3;0\right)$$ s'exprime également par $$f\left(3\right)=0$$ et on a vu à la question précédente que cela était vraie.
Le point de coordonnées $$\left(3;0\right)$$ appartient à la courbe représentative du trinôme $$f$$ est synonyme de " $$3$$ est une racine du trinôme $$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6$$".

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-8$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=6$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-8\right)^{2} -4\times 2\times 6$$
$$\Delta =64-48=16$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-8\right)-\sqrt{16} }{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-8\right)+\sqrt{16} }{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{2} =3$$
4^ème étape : La factorisation du trinôme du second degré.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, alors la factorisation est de la forme $$a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)$$.
Il en résulte que :
$$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6=2\times \left(x-1\right)\times \left(x-3\right)$$
Ainsi, la forme factorisée de $$f$$ est :
Donc $$f$$ est factorisable par $$x-1$$ et par $$x-3$$.
Finalement, la phrase Le trinôme $$f$$ est factorisable par $$x+3$$ n'est pas synonyme de " $$3$$ est une racine du trinôme $$f\left(x\right)=2x^{2} -8x+6$$".